Redigerer Euklids Elementer (avsnitt)

=== Bok X: Inkommensurable størrelser ===

Thomas Heath beskriver bok X sm den mest bemerkelsesverdige av alle de 13 bindene og den boka som er mest perfekt i form.  [[Carl Benjamin Boyer|Carl Boyer]] skriver også at dette var den boka som var mest
fryktet.<ref name=CB129>[[#CB|C.B.Boyer: ''A history of mathematics'']] s.129</ref>  Boka omhandler inkommensurable størrelser, svarende til irrasjonale tall.  Innholdet i bindet er hele tiden i en geometrisk form.  Oppdagelsen av de første tilfellene av inkommensurable størrelser skal ha vært gjort av pytagoreerne, og antagelig var en lengde svarende til <math>\sqrt{2}</math> den første som ble oppdaget.<ref name=TH155>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.155</ref>  [[Teodors fra Kyrene]] viste at størrelser svarende til tallene <math>\sqrt{3}, \sqrt{5}, ..., \sqrt{17}</math> er inkommensurable.  Æren for det mer generelle innholdet i bind X er i hovedsak gitt Teaetetos.<ref name=TH402>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.402</ref>

Bok X starter med å legge grunnlaget for det som i dag betegnes som [[ekshausjonsbevis]]<ref>{{kilde www| url=https://snl.no/ekshausjonsbevis |tittel=Ekshausjonsbevis | utgiver=Store norske leksikon |besøksdato=2021-04-23}}</ref> eller «utfyllingsprinsippet»<ref name=AH269>[[#AH|A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.269</ref>.  Dette er en bevisform hvor en kontinuerlig størrelse, en lengde, et areal eller et volum, blir tilnærmet 
med stadig mindre enheter. For eksempel kan en sirkel tilnørmes med regulære mangekanter av stadig høyere orden.  En slik prosess ligger nært opp til en moderne uendelig [[Grenseverdi|grenseprosess]]. For
grekerne var det imidlertid alltid en prosess som ble avsluttet med en rest, etter et endelig antall steg.<ref>{{Kilde bok| forfatter= Carl B.Boyer| utgivelsesår=1959| tittel=The history of the calculus and its conceptual development| utgivelsessted= New York| forlag=Dover Publications| side=33ff| isbn=0-486-60509-4 }}</ref>

I bok X er det videre drøftet linjer som (i moderne notasjon) kan konstrueres som uttrykk av typen

:<math>a \pm \sqrt{b}  \qquad \sqrt{a} \pm \sqrt{b} \qquad \sqrt{a \pm \sqrt{b}}  \qquad \sqrt{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}\ ,</math>

når <math>a</math> og <math>b</math> er to kommensurable størrelser.  Hver enkelt form er i ''Elementer'' gitt sitt eget navn.