Redigerer Tilstandsligning (avsnitt)

==Kvantegasser==

Tilstandsligningen for en ideell gass er basert på at partiklene kan bevege seg fritt ifølge [[klassisk mekanikk]]. Men under spesielle forhold som ved svært lave temperaturer er en slik beskrivelse ikke gyldig, og man må benytte [[kvantemekanikk]]. Da vil partiklene bevege seg svært langsomt og vil ha en [[bevegelsesmengde|impuls]] {{nowrap|''p'' {{=}} ''mv''}} som blir tilsvarende liten. Deres utstrekning er da gitt ved [[De Broglies bølgelengde|bølgelengden]] {{nowrap|''&lambda;'' {{=}} ''h''/''p''}} der ''h&thinsp;'' er [[Plancks konstant]]. Denne vil vokse når temperaturen avtar, noe som betyr at [[bølgefunksjon]]ene til partiklene overlapper mer og mer. Selv om frie partikler ikke har noen vekselvirkning, vil de derfor likevel påvirke hverandre, og det blir vanskeligere å adskille dem fra hverandre.<ref name = Lay> J.E. Lay, ''Statistical Mechanics and Thermodynamics of Matter'', Harper & Row Publishers, New York (1990). ISBN 0-06-043884-3.</ref>

En ikke-relativistisk partikkel har energi ''E'' = ''p''<sup>&thinsp;2</sup>/2''m&thinsp;'' som er av størrelsesorden ''k<sub>B</sub>T&thinsp;'' når den er i termisk likevekt ved temperaturen ''T''. Det er derfor vanlig å karakterisere den kvantemekaniske utstrekningen til partiklene med den [[Boltzmann-fordeling#Indre energi|termiske bølgelengden]]

: <math> \Lambda = {h\over\sqrt{2\pi m k_B T}} </math>

Den gjennomsnittlige  avstanden mellom ''N&thinsp;'' partikler i et volum ''V'', er gitt ved ''&rho;''<sup>&thinsp;-1/3</sup> der tettheten av partikler er  {{nowrap|''&rho;'' {{=}} ''N''/''V''}}. Når den termiske bølgelengden blir større enn denne klassiske avstanden, vil kvantekorreksjonene til den ideelle gassligningen ventes å opptre.

Beregningen av tilstandsligningen for slike partikler gjøres med bruk av [[statistisk mekanikk]] med resulat som blir forskjellige avhengig av partiklenes [[spinn]].  [[Boson]]er er partikler med heltallig spinn og må beskrives ved [[Bose-Einstein statistikk]], mens [[fermion]]er har halvtallig spinn og har [[Fermi-Dirac statistikk]]. De første avvik fra den ideelle gassloven kan da skrives som

: <math> P = \rho k_B T\left[1 \mp {\rho\Lambda^3\over 2^{5/2}} + \cdots \right] </math>

hvor det øverste fortegnet er for bosoner med spinn ''s'' = 0 og det nederste for fermioner med ''s'' = 1/2. Høyere ordens korreksjoner involver høyere potenser av
<math> \rho\Lambda^3 </math> og inngår dermed i en virialutvikling av det kvantemekaniske trykket.<ref name = Mac/>

===Temperatur T = 0===
Allerede fra dette laveste ordens ser man at trykket i en ideell gass av bosoner er mindre enn i den klassiske gassen, mens det er høyere i en fermiongass. Det skyldes at bosoner effektivt er tiltrukket av hverandre, mens fermioner er gjensidig frastøtende da de oppfyller [[Paulis eksklusjonsprinsipp]]. Tiltrekningen mellom bosoner medfører at ved en [[kritisk temperatur]] ''T<sub>c</sub>&thinsp;'' vil gassen begynne en [[Bose-Einstein kondensasjon]] til en «kvantevæske». Denne faseovergangen begynner når <math> \rho\Lambda^3 = 2.612 </math> som gir

: <math> T_c = {h^2\over 2\pi mk_B} \left({\rho\over 2.612}\right)^{2/3} </math>

Når temperaturen blir enda lavere, vil mer og mer av gassen gå over til den [[Superfluiditet|superflytende]] væskefasen som har trykk ''P'' = 0.

En fermiongass vil derimot ikke gjennomgå noen faseovergang. Den vil ha et trykk som hele tiden er større enn det klassiske trykket. Til og med når ''T'' = 0 vil gassen befinne seg i en tilstand med energitetthet

: <math> u = {U\over V} = {\hbar^2\over 10\pi^2 m} (3\pi^2\rho)^{5/3} </math>

Det tilsvarende trykket  er ''P'' = (2/3)''u&thinsp;'', en sammenheng som også gjelder ved endelig temperatur. I [[Hvit dverg|hvite dvergstjerner]] er det dette trykket fra [[elektron]]er som gjør dem stabile, mens den samme stabiliteten skyldes [[nøytron]]er i [[nøytronstjerne]]r.<ref name = Lay/>

===Relativistiske partikler===

Ved meget høye temperaturer beveger partiklene i en gass seg så raskt at de har hastigheter som nærmer seg [[lyshastigheten]] ''c''. De må da beskrives med [[Spesiell relativitet|relativistisk mekanikk]] og vil ha energi {{nowrap|''E'' {{=}} ''pc''}} uavhengig av deres masse. 

Det mest kjente eksempel på en slik relativistisk kvantegass er [[sort stråling#Strålingstrykk|sort stråling]] som består av [[foton]]er med masse {{nowrap|''m'' {{=}} 0}}. Ved temperatur ''T&thinsp;'' har den et trykk

: <math> P = {4\sigma\over 3c} T^4 </math>

hvor ''&sigma;&thinsp;'' er den fundamentale konstanten som opptrer i [[Stefan-Boltzmanns lov]]. Dette resultatet kan skrives som 

: <math> P = {1\over 3}u </math>

hvor ''u&thinsp;'' er energitettheten til fotongassen. Denne tilstandsligningen viser seg å gjelde for alle masseløse partikler, både bosoner og fermioner. De har alle energitettheter som varierer med temperaturen som ''T''<sup>&thinsp;4</sup>, men med forskjellige koeffisienter avhengig av partiklenes spinn.<ref name = Lay/>

En ikke-relativistisk, [[ideell gass]] oppfyller ligningen ''PV = nRT&thinsp;'' og har en [[indre energi]] {{nowrap|''U'' {{=}} (3/2)''nRT''}}. Dens tilstandsligning kan derfor skrives som {{nowrap|''P'' {{=}} (2/3)''u''&thinsp;}} hvor nå energitettheten {{nowrap|''u'' {{=}} ''U''/''V''}}. Det er derfor samme ligning som for en ideell, ikke-relativistisk kvantegass.

I [[kosmologi]]en beskriver man all masse og strålng som et jevnt fordelt [[fluid]] i hele [[Universet]] med energitetthet ''u&thinsp;'' og trykk ''P''. Ved bruk av [[Einstein]]s [[generell relativitet|generellle relativitetsteori]] kan dermed dets utvikling beregnes helt tilbake til begynnelsen ved [[Big Bang]]. Tilstandsligningen for denne kosmologiske materien kan da skrives på formen

: <math> P = wu </math>

hvor ''w&thinsp;'' er en parameter med verdien ''w'' = 1/3 hvis partiklene har relativistiske hastigheter og derfor opptrer som stråling. Ikke-relativistiske partikler bidrar ikke til trykket, kun til energitettheten med ''mc''<sup>&thinsp;2</sup>. Men i tillegg til denne materien, ser det ut til at det også må finnes [[mørk energi]] for å kunne forklare Universets observerte akselerasjon. Denne kan beskrives ved samme tilstandsligning, men med en verdi ''w'' < -1/3 for å virke frastøtende. Hvis den skyldes en [[kosmologisk konstant]], vil {{nowrap|''w'' {{=}} -1}}, men sannsynlivis er situasjonen mer komplisert.<ref name = Barbara> B. Ryden, ''Introduction to Cosmology'', Addison-Wesley, San Fransisco (2003). ISBN 0-8053-8912-1.</ref>