Redigerer Sirkelinversjon (avsnitt)

===Uekte Möbius-transformasjon===

Hvis inversjonssirkelen ikke har sitt sentrum i origo, vil formen til transformasjonen bli mer komplisert. Men den kan finnes ved å først foreta en translasjon slik at senteret blir liggende i  origo. Inversjonen kan da foretas som før og til slutt translateres det resulterende punktet tilbake like langt som i første stepp. 

Hvis senteret er i det komplekse punktet <math> c </math>, forandrer den første translasjonen koordinatene til alle punkt som <math> z \rightarrow z - c </math>. En inversjon om origo gir som før <math>  z - c  \rightarrow r^2/(z^* - c^*)</math>. Da den avsluttende translasjonen nå er <math> z \rightarrow z + c </math>, er denne mer  generelle sirkelinversjonen gitt ved

: <math> z \rightarrow  c + {r^2\over z^* - c^*} = {cz^* - s\over  z^* - c^*} </math>

der <math> s = c^*c - r^2 </math> er et reelt tall. 

Dette har samme form som en [[Möbius-transformasjon]] bortsett fra at den komplekskonjugerte <math> z^*</math> opptrer på høyre side i stedet for <math> z</math>. Transformasjonen sies derfor å være uekte og skyldes at den gir motsatt orientering av punkt. For eksempel vil tre punkt <math> z_1, z_2, z_3 </math> definere en [[trekant]] og en omdreiningsretning hvis man går rundt den i punktenes rekkefølge. Etter en sirkelinversjon vil denne retningen bli den motsatte. I samme klasse av ''uekte'' transformasjoner er speilinger eller refleksjoner. For eksempel vil en speiling i ''x''-aksen der <math> y \rightarrow - y </math> forandre det komplekse tallet <math>  x + iy </math> til <math> x - iy </math>, det vil si <math> z  \rightarrow z^*</math> i kompleks notasjon.

En sirkelinversjon etterfulgt av den samme, gir et netto resultat som tilsvarer ingen transformasjon av det opprinnelige punktet. Derimot vil to forskjellige inversjoner etter hverandre resultere i en ekte Möbius-transformasjon. Den avbilder linjer og sirkler på  andre linjer eller sirkler uten å gi en forandring av orienteringen.<ref name = Stillwell> J. Stillwell, ''The Four Pillars of Geometry'', Springer, New York (2005). ISBN 978-0-387-25530-9.</ref>