Redigerer Schrödinger-ligning (avsnitt)

==Klassisk grense==

Schrödinger konstruerte sin bølgeligning ved å ta utgangspunkt i den klassiske [[Hamiltonmekanikk|Hamilton-Jacobi-ligningen]]. For en ikke-relativistsik partikkel i et ytre potensial  {{nowrap|''V {{=}} V''('''x''',t)&thinsp;}} er denne

: <math> {1\over 2m} (\boldsymbol{\nabla}S)^2 + V(\mathbf{x},t)  + {\partial S\over\partial t} = 0 </math>

hvor ''S = S''('''x''',''t'') er Hamiltons prinsipale funksjon, også kalt klassisk virkning. Impulsen til partikkelen  '''p = &nabla;'''''S&thinsp;'' står normalt på flaten ''S = konst''.  Disse  flatene definert av virkningsfunksjonen ''S'' kan derfor i noen henseende betraktes som bevegelige bølgefronter. For en fri partikkel med impuls '''p''' og energi ''E'' er også {{nowrap|''S'' {{=}} '''p'''&sdot;'''x''' - ''Et&thinsp;''}} som ikke er noe annet enn [[bølge|fasefunksjonen]] for en plan bølge med fasehastighet ''u = E/p''.<ref name = Goldstein>H. Goldstein, ''Classical Mechanics'', Addison-Wesley Publishing Company, New York (1959).</ref>

Med dette utgangspunktet tenkte Schrödinger seg at bølgefunksjonen for en partikkel i et potensial kunne skrives på formen

: <math> \Psi(\mathbf{x},t) = A(\mathbf{x},t) e^{iS(\mathbf{x},t)/\hbar} </math>

hvor ''A= A''('''x''',''t'')&thinsp; er en ukjent funksjon, mens ''S = S''('''x''',''t'') er den klassiske virkningen. I eksponenten må vi dividere den med [[Plancks konstant]] da den har samme dimensjon som virkningen. Denne konstanten kalles også derfor noen ganger for ''virkningskvantet''. I grensen hvor dette går mot null, skal alle kvanteeffekter forsvinne og klassisk fysikk være gyldig. Oppgaven til Schrödinger var da å finne en bølgeligning som ga Hamilton-Jacobi-ligningen i denne grensen ''h &rarr; 0&thinsp;''.

Vil man verifisere at hans tidsavhengige bølgeligning oppfyller dette kravet, må man først beregne den tidsderiverte

: <math> i\hbar{\partial\over\partial t} \Psi = \left[i\hbar{\partial A\over\partial t}  - A{\partial S\over\partial t}\right] e^{iS/\hbar} </math>

og deretter den dobbelte, romlige deriverte

: <math> \hbar^2 \boldsymbol{\nabla}^2\Psi  = \left[\hbar^2 \boldsymbol{\nabla}^2A - A(\boldsymbol{\nabla}S)^2
       + 2i\hbar(\boldsymbol{\nabla}A)\cdot(\boldsymbol{\nabla}S) + i\hbar A\boldsymbol{\nabla}^2S\right]e^{iS/\hbar} </math>

Settes nå dette inn i den tidsavhengige Schrödinger-ligningen, og man beholder kun de leddene som er uavhengige av Plancks konstant, ser man at man står igjen med akkurat Hamilton-Jacobi-ligningen. Det er dette som ligger til grunn for [[WKB-approksimasjon]]en for løsning av den fulle Schrödinger-ligningen.

Det er interessant at Schrödinger tok aller først utgangspunkt i Hamilton-Jacobi-ligningen for en relativistisk partikkel. Det ga han på samme måte en relativistisk bølgeligning som i dag kalles for [[Klein-Gordon-ligning]]en. Men den forkastet han da den ikke ga riktig verdier for energinivåene til elektronet i hydrogenatomet. Men det er ingen feil med denne bølgeligningen. Grunnen er bare at i en relativistisk beskrivelse av elektronet må man også ta hensyn til at det har et [[spinn]]. Kombinasjonene av disse to effektene ble først gjort et par år senere av [[Dirac]] og matematisk formulert i [[Dirac-ligning]]en.<ref name = Pais> A. Pais, ''Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical World'', Clarendon Press, Oxford (1986). ISBN 0-19-851971-0.</ref>