Redigerer Magnetfelt (avsnitt)

==Magnetiske krefter==
[[Fil:Ampere-def.svg|mini|Kraften mellom to ledere med avstand 1[[meter|m]] brukes til å definere [[måleenhet]]en 1[[ampere|A]]. ]]

Basert på [[Ampères kraftlov]] kunne [[Hermann Grassmann|Grassmann]] utlede en enklere lov som gir kraften på en strømleder i et ytre magnetfelt '''B'''.<ref name = Darrigol/>  Fører den strømmen ''I'' og man betrakter en differensiell lengde ''d''&thinsp;'''s''' av lederen, er kraften på dette strømelementet gitt som

: <math> d\mathbf{F} = Id\mathbf{s} \times \mathbf{B} </math>

[[Vektorprodukt]]et her betyr at når strømelementet ''Id''&thinsp;'''s''' er parallelt med magnetfelt, er kraften lik med null. I det andre, spesielle tilfellet at de står [[vinkelrett]] på hverandre, har den differensielle kraften størrelse ''IdsB''. Kraften på hele lederen finnes herav ved å [[integral|integrere]] over den lukkete kretsen som den er en del av.<ref name = Zangwill/>

===Parallelle ledninger===
Den magnetiske kraften mellom to parallelle ledninger med avstand ''a'' og som  fører henholdsvis strømmene ''I'' og  ''I'&thinsp;'' kan nå enkelt regnes ut. Feltet fra den siste er {{nowrap|''B'' {{=}} ''&mu;''<sub>0</sub>''I'&thinsp;''/2''&pi;&thinsp;r''&thinsp;}} i avstand ''r'' og vinkelrett til lederen. Betrakter man så et stykke med lengde ''b'' av den andre lederen i dette feltet, vil kraften ''F''&thinsp; på dette ledningsstykket kunne skrives som

: <math> {F\over b} = {\mu_0 II'\over 2\pi a} </math>

Siden retningen til magnetfeltet avhenger av retningen til strømmen som produserer det, vil denne kraften være attraktiv når de to parallelle strømmene har samme retning og frastøtende når de har motsatt retning. Denne formelen var et av de aller første resultatene til Ampère og gir i dag [[måleenhet]]en [[ampere]] for strømstyrke.

===Ampère-kraften===

Mer generelt kan man beregne kraften mellom to kretser er ''C'' og ''C'&thinsp;'' som fører henholdsvis strømmene  ''I'' og ''I'&thinsp;''. Den totale kraften som virker på den første er

: <math> \mathbf{F} = I \oint_C \!d\mathbf{s}\times\mathbf{B}(\mathbf{r}) </math>

hvor '''B'''('''r''') er magnetfeltet som den befinner seg i. Det er skapt av strømmen i den andre kretsen slik at kraften blir gitt ved dobbeltintegralet

: <math> \mathbf{F} =  \frac{\mu_0 }{4\pi}II' \oint_C \! \oint_{C'} \! {d\mathbf{s}\times [d\mathbf{s'}\times (\mathbf{r} - \mathbf{r'})]\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|^3} </math>

Da begge kretsene er lukkete strømsløyfer, kan det doble vektorproduktet i nevneren forenkles til å gi resultatet<ref name = RM> J.R. Reitz and F.J. Milford, ''Foundations of Electromagnetic Theory'', Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts (1960).</ref>

: <math> \mathbf{F} =  - \frac{\mu_0 }{4\pi}II' \oint_C \! \oint_{C'} \! (d\mathbf{s}\cdot d\mathbf{s'}){\mathbf{r} - \mathbf{r'}\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|^3} </math>

Hadde man i stedet regnet ut kraften '''F'&thinsp;''' som virker på den andre kretsen i feltet fra den første, ville man ha fått '''F'&thinsp;''' = - '''F'''. [[Newtons lover|Newtons tredje lov]] om kraft og motkraft er derfor oppfylt.

Opprinnelig kommer dette uttrykket for kraften mellom to lukkete strømkretser fra [[Ampères kraftlov|kraftloven]] til [[Ampère]]. Han mente at alle magnetiske krefter kunne sammenfattes i en  fundamental kraftlov mellom elektriske strømmer.  Dette var en [[fjernvirkningsteori]] hvor disse kreftene virket direkte mellom strømmene og ikke ble formidlet av et mellomliggende, magnetisk felt.<ref name = Whittaker/>

===Magnetisk dipol===
En rett, strømførende ledning kan betraktes som en del av en lukket krets eller sløyfe der resten av ledningen ligger langt borte der magnetfeltet er neglisjerbart. I det motsatte tilfelle kan man betrakte kraften på en liten, lukket strømsløyfe i et magnetfelt. Den virker som en [[magnetisk dipol]].

I det enkleste tilfellet kan man betrakte en krets ''ABCD'' med form som et [[rektangel]] der sidene ''AB'' og ''CD'' har lengde ''a'', mens de to andre sidene har lengde ''b''. Kretsen fører strømmen ''I'' og befinner seg i et konstant magnetfelt '''B''' rettet langs ''z''-aksen. Den ligger først i ro i ''xy''-planet med siden ''AB'' parallell med ''x''-aksen. Kreftene som virker på linjestykkene ''AB'' og ''CD'' blir da  ''IaB'', men motsatt rettet slik at de opphever hverandre. Det samme gjelder for kreftene ''IbB'' som virker på de to andre sidene i rektangelet. Alt i alt er derfor totalkraften på strømsløyfen lik med null.

Hvis man i stedet betrakter denne kretsen vridd en vinkel ''&theta;'' om ''y''-aksen, vil fremdeles kreftene  ''IbB''  på sidene ''BC'' og ''DA'' oppheve hverandre. Det gjelder også kreftene  ''IaB'' som virker på ''AB'' og ''CD''. Derfor er totalkraften fremdels like med null og kretsen vil ikke prøve å flytte seg. Men nå i dette tilfellet er avstandene mellom angrepspunktene for de to siste kreftene forskjellig med null og lik med ''b&thinsp;''sin''&theta;''. Dette kraftparet skaper derfor et [[dreiemoment]] med størrelse ''N = IaB''&sdot;''b&thinsp;''sin''&theta;''. På vektorform kan det skrives som

: <math> \mathbf{T} = \mathbf{m}\times\mathbf{B} </math>

etter å ha innført det [[magnetisk moment|magnetiske momentet]] '''m''' = ''Iab''&sdot;'''n''' for strømsløyfen som har enhetsvektoren [[vinkelrett]] på seg. Her er {{nowrap|''S {{=}} ab''}} arealet av rektangelet. 

Dette resultatet viser seg å være uavhengig av den geometriske formen til strømsløyfen som generelt har et magnetisk moment '''m''' = ''IS''&sdot;'''n''' kun avhengig av dens areal ''S'' og orientering i rommet. Dreiemomentet '''T''' vil prøve å vri strømsløyfen tilbake i en slik retning av dens magnetiske moment har samme retning som magnetfeltet '''B'''. Det er ekvivalent med at dens [[potensiell energi|potensielle energi]]  

: <math> V_m = - \mathbf{m}\cdot\mathbf{B} </math>

er minimal for denne retningen. Indeksen ''m'' skal minne om at ''V<sub>m</sub>&thinsp;'' er en [[mekanisk energi]] som er avhengig av orienteringen til dipolen.

Hvis magnetfeltet '''B''' ikke er helt konstant, vil ikke kreftene som virker på motsatte sider i strømsløyfen oppheve hverandre. Den vil da være utsatt for en nettokraft som prøver å flytte den i tillegg til at dreiemomentet virker. Det er denne kraften som får en magnet til å bevege seg i et ytre magnetfelt som nesten alltid vil variere i rommet.

===Lorentz-kraften===
[[Fil:Lorentz force particle.svg|240px|thumb|Lorentz-kraften '''F''' virker på en ladning ''q'' som beveger seg med hastigheten '''v''' i en kombinasjon av elektrisk '''E''' og magnetisk '''B''' felt.]] 
Den magnetiske kraften på en strømførende ledning har sitt opphav i at magnetfeltet virker direkte på de ladete partiklene som utgjør strømmen. Har de hastighet '''v''' og ladning ''q'', finnes kraften på hver enkelt av dem ved å erstatte strømelementet ''Id''&thinsp;'''s''' med faktoren  ''q''&thinsp;'''v'''.  Det gir opphav til den magnetiske  [[Lorentz-kraft]]en

: <math>\mathbf{F} = q\mathbf{v}\times\mathbf{B} </math>

Retningen til kraften følger igjen fra [[høyrehåndsregelen]]. Hvis det magnetiske feltet følger tommelen på høyre hånd, vil negativ ladning avbøyes i de krummede fingrenes retning, og positiv ladning avbøyes mot fingrenes retning.

Hvis det i tillegg til det magnetiske feltet også finnes et elektrisk felt '''E''' som virker på partikkelen, er den utsatt for en totalkraft {{nowrap|'''F''' {{=}} ''q''('''E''' + '''v'''&thinsp;&times;&thinsp;'''B''')}} som også blir kalt for Lorentz-kraften. På denne formen er den i overensstemmelse med [[Kovariant relativitetsteori|Einsteins relativitetsteori]] og er av like fundamental betydning som [[Maxwells ligninger]].

For en kontinuerlig fordeling av partikler med ladningstetthet {{nowrap|''&rho;'' {{=}} ''&rho;''('''x''',''t'')}} og beskrevet ved  [[kontinuitetsligning#Hastighetsfelt|hastighetsfeltet]] {{nowrap|'''v''' {{=}} '''v'''('''x''',''t'')}}, kan man nå regne ut den magnetiske kraften på alle partiklene i dette systemet. Et differensielt volumelement ''dV'' har ladningen ''&rho;dV'' og er derfor utsatt for kraften {{nowrap|''d''&thinsp;'''F''' {{=}} ''&rho;''&thinsp;'''v'''&thinsp;&times;&thinsp;'''B'''&thinsp;''dV''}}. Men her er '''J''' = ''&rho;''&thinsp;'''v'''&thinsp; den [[elektrisk strøm|elektriske strømtettheten]]  slik at det er naturlig å innføre den '''magnetiske volumkraften'''

: <math> \mathbf{f} = \mathbf{J} \times \mathbf{B} </math> 

som virker på hvert volumelement av systemet. Totalkraften finnes så ved integrasjon.