Redigerer
Entropi
(avsnitt)
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
Avansert
Spesialtegn
Hjelp
Overskrift
Nivå 2
Nivå 3
Nivå 4
Nivå 5
Format
Sett inn
Latin
Utvidet latin
IPA
Symboler
Gresk
Utvidet gresk
Kyrillisk
Arabisk
Utvidet arabisk
Hebraisk
Bengali
Tamilsk
Telugu
Singalesisk
Devanagari
Gujarati
Thai
Laotisk
Khmer
Kanadisk stavelsesskrift
Runer
Á
á
À
à
Â
â
Ä
ä
Ã
ã
Ǎ
ǎ
Ā
ā
Ă
ă
Ą
ą
Å
å
Ć
ć
Ĉ
ĉ
Ç
ç
Č
č
Ċ
ċ
Đ
đ
Ď
ď
É
é
È
è
Ê
ê
Ë
ë
Ě
ě
Ē
ē
Ĕ
ĕ
Ė
ė
Ę
ę
Ĝ
ĝ
Ģ
ģ
Ğ
ğ
Ġ
ġ
Ĥ
ĥ
Ħ
ħ
Í
í
Ì
ì
Î
î
Ï
ï
Ĩ
ĩ
Ǐ
ǐ
Ī
ī
Ĭ
ĭ
İ
ı
Į
į
Ĵ
ĵ
Ķ
ķ
Ĺ
ĺ
Ļ
ļ
Ľ
ľ
Ł
ł
Ń
ń
Ñ
ñ
Ņ
ņ
Ň
ň
Ó
ó
Ò
ò
Ô
ô
Ö
ö
Õ
õ
Ǒ
ǒ
Ō
ō
Ŏ
ŏ
Ǫ
ǫ
Ő
ő
Ŕ
ŕ
Ŗ
ŗ
Ř
ř
Ś
ś
Ŝ
ŝ
Ş
ş
Š
š
Ș
ș
Ț
ț
Ť
ť
Ú
ú
Ù
ù
Û
û
Ü
ü
Ũ
ũ
Ů
ů
Ǔ
ǔ
Ū
ū
ǖ
ǘ
ǚ
ǜ
Ŭ
ŭ
Ų
ų
Ű
ű
Ŵ
ŵ
Ý
ý
Ŷ
ŷ
Ÿ
ÿ
Ȳ
ȳ
Ź
ź
Ž
ž
Ż
ż
Æ
æ
Ǣ
ǣ
Ø
ø
Œ
œ
ß
Ð
ð
Þ
þ
Ə
ə
Formatering
Lenker
Overskrifter
Lister
Filer
Referanser
Diskusjon
Beskrivelse
Hva du skriver
Hva du får
Kursiv
''Kursiv tekst''
Kursiv tekst
Fet
'''Fet tekst'''
Fet tekst
Fet & kursiv
'''''Fet & kursiv tekst'''''
Fet & kursiv tekst
==Gibbs og ensembleteori== Et system av partikler kan være i mange forskjellige mikrotilstander selv om det makroskopisk ser ut til å være det samme. For å kunne beregne sannsynligheten for at systemet kunne befinne seg i en slik bestemt mikrotilstand, betraktet [[Josiah Willard Gibbs]] en samling av identiske systemer som alle oppfylte de ytre, makroskopiske kravene man kunne tillegge det. En slik samling av et stort antall identiske system kalte han et ''ensemble''. Sannsynligheten ''P''<sub>i</sub> for at det ene systemet man betrakter, befinner seg i en bestemt mikrotilstand i, postulerte Gibbs skulle være proporsjonale med antall systemer i ensemblet som befant seg i denne tilstanden. Dette antallet var igjen avhengig av hastighetene og vekselvirkningene mellom partiklene i systemet. Dermed tillot denne beskrivelsen at systemet ikke lenger besto av frie partikler som i en ideell gass, men kunne også beskrive et reelt system med partikler som påvirket hverandre eller ble holdt sammen av hverandre. Gibbs utviklet en statistisk teori for beskrivelsen av et slikt ensemble og kunne vise at entropien for et system i ensemblet kunne uttrykkes ved disse sannsynlighetene som : <math> S = -k_B\sum_i P_i \ln P_i </math> hvor summen går over alle mikrotilstandene systemet kan befinne seg i. Da sannsynlighetene ''P''<sub>i</sub> < 1, vil dette gi en positiv entropi. Uttrykket har samme form som blandingsentropien for to ideelle gasser og kan også begrunnes ut fra lignende betraktninger.<ref name = Huang>K. Huang, ''Statistical Mechanics'', J. Wiley & Sons, New York (1987). ISBN 0-471-85913-3.</ref> ===Mikrokanonisk ensemble=== Det grunnleggende ensemble er det ''mikrokanoniske''. Dette opptrer når vi betrakter et system som har en fiksert energi ''E'' i tillegg til de vanlige, fikserte verdier for volum ''V'' og partikkeltall ''N''. I dette tilfelle er derfor ikke temperaturen gitt, men vil bli en avledet størrelse. I tillegg må man gjøre bruk av [[statistisk mekanikk|den fundamentale hypotese i statistisk mekanikk]] at alle mikrotilstandene har samme sannsynlighet. Denne kan utledes fra [[kvantemekanikk]]en og kan også godt begrunnes i klassisk fysikk. I tillegg kan man si at kun med den informasjon at uansett hvilken mikrotilstand systemet befinner seg i, så har det samme energi og det derfor ikke er noe annet som skiller mikrotilstandene, så er denne antagelse den enkleste og mest demokratiske. Hvis nå det totale antall mikrotilstander betegnes med ''W = W(E,V)'', så er derfor ''P''<sub>i</sub> = 1/''W'' slik at entropien blir : <math> S = -k_B\sum_{i=1}^W {1\over W}\ln {1\over W} = k_B \ln W </math> Derfor er Gibbs ensembleteori konsistent med Boltzmanns formulering. Entropien for en ideell gass kan forholdsvis lett beregnes på denne måten og derved gi resultatet til Sackur og Tetrode. ===Kanonisk ensemble=== Hvis systemet under betraktning har en fiksert temperatur ''T'' i stedet for energi ''E'', viste Gibbs at sannsynligheten for mikrotilstand i med energi ''E''<sub>i</sub> er gitt som : <math> P_i = {1\over Z} e^{-E_i/k_B T} </math> hvor størrelsen ''Z'' foreløbig er ukjent . Den bestemmes fra kravet om at alle sannsynlighetene må oppfylle betingelsen ∑<sub>i</sub>''P''<sub>i</sub> = 1. Det gir at : <math> Z = \sum_i e^{-E_i/k_B T} </math> som er ''partisjonsfunksjonen'' for hele systemet. Det er viktig å understreke at her er ''E''<sub>i</sub> energien for ''hele'' systemet i mikrotilstanden i. Derfor er dette resultatet også gyldig for vekselvirkende system og kalles ''Gibbs-fordelingen'' i ''det kanoniske ensemble''.<ref name = LHL/> Med denne sannsynlighetsfordelingen for systemet i termisk likevekt kan man beregne forskjellige egenskaper til systemet. For eksempel har det en midlere energi gitt som <u style="font-style:italic; text-decoration:overline">E</u> = ∑<sub>i</sub> ''E''<sub>i</sub> ''P''<sub>i</sub> som vi kan identifisere med systemets indre energi ''U''. Man kan også beregne hvordan den observerte energien fluktuerer rundt denne middelverdien på som måte som man kan regne ut hvordan den målte temperaturen i det mikrokanoniske ensemblet fluktuerer rundt den midlere temperaturen. Entropien for et system beskrevet ved det kanoniske ensemblet kan nå finnes. Setter man inn i formelen til Gibbs at ln ''P''<sub>i</sub> = - ''E''<sub>i</sub> /''k<sub>B</sub>T'' - ln ''Z'', følger at : <math> S = {U\over T} + k_B \ln Z </math> Sammenligner man dette med uttrykket for [[Helmholtz fri energi]] ''F = U - TS'', ser man at partisjonsfunksjonen ''Z'' kan uttrykkes direkte ved dette termodynamiske potensialet som : <math> Z = e^{-F/k_B T} </math> Partisjonsfunksjonen spiller en sentral rolle i all [[statistisk mekanikk]] og gir direkte tilgang til de termodynamiske egenskapene for systemene som betraktes.<ref name = Huang/>
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon
Søk etter sider som inneholder