Redigerer Predikatlogikk (avsnitt)

== Predikatlogiske ekvivalenser ==
Her presenteres noen grunnleggende [[ekvivalens]]er (dvs. gyldige omforminger) som gjelder i predikatlogikken.

=== Negasjon ===
Negasjonen av et allutsagn er et eksistensutsagn om negasjonen; og motsatt &ndash; negasjonen av et eksistensutsagn er et allutsagn om negasjonen.
* <math>\neg \forall x F(x) \quad \Leftrightarrow \quad \exists x \neg F(x)</math>
*# Det er ikke tilfellet at alle svaner er hvite.
*# Det fins en svane som ikke er hvit.
* <math>\neg \exists x F(x) \quad \Leftrightarrow \quad \forall x \neg F(x)</math>
*# Det fins ikke noen gule ravner.
*# For alle ravner gjelder at de ikke er gule.
*<math>\forall x F(x) \quad \Leftrightarrow \quad \neg \exists x \neg F(x)</math>
*# Alle ravner er svarte.
*# Det fins ikke noen ravner som ikke er svarte.
*<math>\exists x F(x) \quad \Leftrightarrow \quad \neg \forall x \neg F(x)</math>
*# Det fins en svart svane.
*# Det er ikke tilfellet at alle svaner er ikke-svarte.

=== Distributiv lov ===
[[Den distributive lov]] gjelder innenfor kombinasjonene {&forall;; &and;} og {&exist;; &or;}.
* <math>\forall x \big \lbrack F(x) \land G(x) \big \rbrack \quad \Leftrightarrow \quad \big \lbrack \forall x F(x) \big \rbrack \land \big \lbrack \forall x G(x) \big \rbrack</math>
*# Alt er rosa og elefant. (Det eksisterer ikke noe annet enn rosa elefanter)
*# Alt er rosa, og alt er elefant.
* <math>\exists x \big \lbrack F(x) \lor G(x) \big \rbrack \quad \Leftrightarrow \quad \big \lbrack \exists x F(x) \big \rbrack \lor \big \lbrack \exists x G(x) \big \rbrack</math>
*# Det fins noe som er rosa eller en elefant.
*# Det fins noe som er rosa, eller det fins noe som er en elefant.

Merk at den distributive lov ''ikke'' gjelder for andre kombinasjonene enn {&forall;; &and;} og {&exist;; &or;}!
* <math>\forall x \big \lbrack F(x) \lor G(x) \big \rbrack \quad \nLeftrightarrow \quad \big \lbrack \forall x F(x) \big \rbrack \lor \big \lbrack \forall x G(x) \big \rbrack</math>
*# Alt er rosa eller elefant (oppfylt f.eks. hvis alt som fins i universet er ni rosa sokker og tre grå elefanter).
*# Alt er rosa, eller alt er elefant (''ikke'' oppfylt hvis alt som fins i universet er ni rosa sokker og tre grå elefanter).
* <math>\exists x \big \lbrack F(x) \land G(x) \big \rbrack \quad \nLeftrightarrow \quad \big \lbrack \exists x F(x) \big \rbrack \land \big \lbrack \exists x G(x) \big \rbrack</math>
*# Det fins noe som er rosa og en elefant (bare oppfylt hvis det fins minst en rosa elefant).
*# Det fins noe rosa, og det fins en elefant (oppfylt hvis det f.eks. fins rosa sokker og grå elefanter).

=== Kommutativ lov ===
Mellom kvantorer av samme type gjelder [[den kommutative lov]].
* <math>\forall x \forall y H(x,y) \quad \Leftrightarrow \quad \forall y \forall x H(x,y)</math>
*# Alle [''x''] elsker alle [''y''].
*# Alle [''y''] elskes av alle [''x''].
* <math>\exists x \exists y H(x,y) \quad \Leftrightarrow \quad \exists y \exists x H(x,y)</math>
*# Noen [''x''] elsker noen [''y''].
*# Noen [''y''] elskes av noen [''x''].

Merk at den kommutative lov ''ikke'' gjelder på tvers av kvantorene!
* <math>\forall x \exists y H(x,y) \quad \nLeftrightarrow \quad \forall y \exists x H(x,y) \quad \nLeftrightarrow \quad \exists x \forall y H(x,y) \quad \nLeftrightarrow \quad \exists y \forall x H(x,y)</math>
*# Alle [''x''] elsker noen [''y''] (oppfylt selv om f.eks. ''j'' ikke elskes av noen).
*# Alle [''y''] elskes av noen [''x''] (oppfylt selv om f.eks. ''k'' ikke elsker noen).
*# Noen [''x''] elsker alle [''y''].
*# Noen [''y''] elskes av alle [''x''].