Redigerer Sirkelinversjon (avsnitt)

===Punkt i det uendelige===

Fra definisjonen av sirkelinversjon vil hvert punkt ''P'' utenom origo ''O'' med koordinatene (0,0) transformeres entydig til et nytt punkt ''P'&thinsp;''. For at transformasjonen skal være gyldig for alle punkt, er det mulig å utvide det euklidske planet med et nytt punkt i uendelig (<math> \infty</math>) avstand fra origo. Dette kan kalles ''P''<sub>&infin;</sub> og kan tas med i den analytiske beskrivelsen ved regnereglene <math> 1/\infty = 0 </math> og <math> 1/0 = \infty</math>.

Med denne utvidelsen har det euklidske planet gått over til å ble et '''inversivt plan'''. I motsetning til det [[projektivt plan|projektive planet]] som inneholder en linje med punkt i det uendelige, har dette planet kun ett slikt punkt. Man kan forstille seg det euklidske planet som veldig stort, men endelig. Hvis nå omkretsen av dette planet blir «sydd» sammen på et slikt vis at det blir en lukket flate,  vil det kan det være et mentalt bilde av det inversive planet. Punktet ''P''<sub>&infin;</sub> tilsvarer projeksjonspunktet i en [[stereografisk projeksjon]] av en  [[kule|kuleflate]] på et euklidsk plan.<ref name = CG/>

I det inversive planet kan nå en rett linje sies å være en sirkel som har uendelig stor radius og derfor går gjennom ''P''<sub>&infin;</sub>. To sirkler som tangerer hverandre i ''O'', transformeres til parallelle linjer som nå kan betegnes som sirkler som tangerer hverandre i ''P''<sub>&infin;</sub>. Alle egenskapene til en sirkelinversjon kan da sammenfattes i den ene setningen at den transformerer sirkler over i sirkler. Den definerer derfor det som ofte blir kalt for en ''sirkelgeometri''.