Redigerer Schrödinger-ligning (avsnitt)

==Mange partikler==

At bølgefunksjonen ikke beskriver en vanlig bølge i vårt rom, blir mer tydelig hvis man betrakter et system av ''N'' ikke-relativistiske partikler av samme type. Hvis de har en gjendig, potensiell vekselvirkningsenergi  på den mest generelle form ''V = V''('''x'''<sub>1</sub>, '''x'''<sub>2</sub>, ..., '''x'''<sub>''N''</sub>)&thinsp;. Bølgefunksjonen &Psi; = &Psi;('''x'''<sub>1</sub>, '''x'''<sub>2</sub>, ..., '''x'''<sub>''N''</sub>, ''t''&thinsp;) vil nå avhenge av koordinatene til alle partiklene og beskriver ikke noen enkel bølge lenger. Den kan beregnes fra en mer komplisert Schrödinger-ligning som igjen kan finnes ved å gå ut fra den klassiske Hamilton-funksjonen

: <math> H = {1\over 2m}\sum_{n=1}^N \mathbf{p}_n^2 + V(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2,\dots, \mathbf{x}_N,t) </math>

til systemet.  Den tilsvarende Hamilton-operatoren utledes nå ved å la <math>\mathbf{p}_n \rightarrow -i\hbar\boldsymbol{\nabla}_n </math>. Det gir Schrödinger-ligningen

: <math>  i\hbar{\partial\over\partial t} \Psi(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2,\dots, \mathbf{x}_N,t)  = \Big[- {\hbar^2\over 2m}\sum_{n=1}^N \boldsymbol{\nabla}_n^2 + V(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2,\dots, \mathbf{x}_N,t)\Big] \Psi(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2,\dots, \mathbf{x}_N,t)  </math>

Det er slike ligninger som må løses for å beregne energien til elektronene i et atom eller egenskapene til en [[atomkjerne]] hvor [[proton]]er og [[nøytron]]er er sterkt bundet sammen. Matematisk er dette et vanskelig problem og kan vanligvis kun gjøres ved bruk av forskjellige approksimasjoner.<ref name = Griffiths/>

I det spesielle tilfellet at den potensielle energien kan skrives som en sum

: <math> V(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2,\dots, \mathbf{x}_N)  = \sum_{n=1}^N U(\mathbf{x}_n)\, , </math>

kan løsningen av Schrödinger-ligningen for en partikkel gi bølgefunksjonen for alle partiklene. Dette tilsvarer at partiklene beveger seg i et felles, ytre potensial {{nowrap|''U {{=}} U''('''x''')}} uten gjensidig vekselvirkning.

===To partikler===

I mange sammenhenger har man kun med to partikler å gjøre. Typiske eksempler er [[hydrogenatom]]et bestående av et [[proton]] og et [[elektron]] som beveger seg i et felles [[Coulombs lov|Coulomb-potensial]]. Eller det kan være et proton og [[nøytron]] som er holdt sammen av den [[sterk kjernekraft|sterke kraften]] i [[atomkjerne]]n til [[deuterium]]. I begge disse tilfeller er partiklene kun påvirket av en gjensidig [[kraft]] som avhenger av avstanden mellom dem. Schrödinger-ligningen for dette systemet er den kvantemekaniske versjonen av det klassiske [[tolegemeproblem]]et.<ref name = BrehmMullin/>

Betegnes posisjonene til de to partiklene med vektorene '''x'''<sub>1</sub> og '''x'''<sub>2</sub>, vil de derfor bevege seg i et gjensidig potensial ''V''('''r''') hvor den relative avstanden er gitt ved differensen  '''r''' =  '''x'''<sub>1</sub> - '''x'''<sub>2</sub>. Den stasjonære Schrödinger-ligningen for dette systemet med total energi ''E<sub>tot</sub>'' er derfor

: <math> \Big[ -{\hbar^2\over 2m_1}\boldsymbol{\nabla}_1^2  - {\hbar^2\over 2m_2}\boldsymbol{\nabla}_2^2  + V(\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2) \Big] \Psi(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2) = E_{tot} \Psi(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2) </math>

når de to partiklene har masser  ''m''<sub>1</sub> og ''m''<sub>2</sub>. Ved å innføre posisjonsvektoren 

: <math> \mathbf{R} = {m_1\mathbf{x}_1 + m_2\mathbf{x}_2\over m_1 + m_2}  </math>

for [[Tolegemeproblem#Massesenter|massesenteret]], finner man for den deriverte

: <math> \boldsymbol{\nabla}_1 = {m_1\over m_1 + m_2} \boldsymbol{\nabla}_\mathbf{R} + \boldsymbol{\nabla}_\mathbf{r}</math>

og tilsvarende for '''&nabla;'''<sub>2</sub> som får motsatt fortegn i siste ledd. Med bruk av de nye posisjonsvektorne '''R''' og '''r''' tar dermed Schrödinger-ligningen formen

: <math> \Big[ -{\hbar^2\over 2M}\boldsymbol{\nabla}_\mathbf{R}^2 - {\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}_\mathbf{r}^2 + V(\mathbf{r})\Big]\Psi = E_{tot}\Psi </math>

der  ''M'' =  ''m''<sub>1</sub> +  ''m''<sub>2</sub>&thinsp; er den totale massen til systemet. Den beveger seg med messesenteret, mens 

: <math> m = {m_1 m_2\over m_1 + m_2} </math>

er den  [[Tolegemeproblem#Redusert masse|reduserte massen]] til de to partiklene. Bølgefunksjonen kan nå betraktes som en funksjon {{nowrap|&Psi; {{=}} &Psi;('''R''','''r''')}}. 
Da Hamilton-operatoren er en sum av to deler hvor hver avhenger kun av en posisjonsvektor, vil denne nye funksjonen ha formen

: <math> \Psi(\mathbf{R}, \mathbf{r}) = \Psi_{CM}(\mathbf{R} )\psi(\mathbf{r}) </math>

hvor den første delen beskriver bevegelsen av messesenteret, mens ''&psi;''('''r''') beskriver kvantemekanisk den relative bevegelsen. Da ingen ytre krefter virker på messesenteret, vil det bevege seg som en fri partikkel med en viss, konstant impuls '''P''' slik at den tilsvarende bølgefunksjonen er

: <math> \Psi_{CM}(\mathbf{R}) = e^{i\mathbf{P}\cdot\mathbf{R}/\hbar} </math>

Innsatt i den fulle Schrödinger-ligningen for systemet, ser man da at dets totale energi er

: <math> E_{tot} = {\mathbf{P}^2\over 2M} + E </math>

hvor nå ''E'' er energien til den relative bevegelsen. Den er gitt ved løsning av den reduserte Schrödinger-ligningen 

: <math> \Big[ - {\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}_\mathbf{r}^2 + V(\mathbf{r})\Big]\psi(\mathbf{r}) = E\psi(\mathbf{r})  </math>

Hele beregningen er på denne måten forenklet til et «ettlegemeproblem» i form av en differensialligning for en bølgefunksjon med tre variable '''r''' = (''x,y,z''). Det er på denne formen ligningen danner utgangspunktet for beregning av energinivåene i [[hydrogenatom]]et og i andre, lignende system.<ref name = BrehmMullin/>