Redigerer Pol og polare (avsnitt)

==Elliptisk plan==
[[Fil:Dualitaet sphaerisch.png|thumb|250px|Et dobbeltelliptisk plan har [[sfærisk geometri]] hvor en [[storsirkel]] ''a&thinsp;'' har to diametralt motsatte poler ''A'' og ''A'&thinsp;''.]]

Et [[elliptisk geometri|elliptisk plan]] er definert ved at det inneholder et [[Cayley-Klein-metrikk|absolutt kjeglesnitt]] av formen

: <math> x^2 + y^2 + z^2 = 0 </math>

Det kan derfor ikke inneholde noen reelle punkt, men bestemmer likevel sammenhengen mellom pol og polare i denne geometrien. Punktene ligger på en [[sfære|kuleflate]] og linjene tilsvarer [[storsirkel|storsirkler]] som fremkommer ved plan gjennom kulens sentrum. Hvert punkt er dermed gitt ved en vektor med komponenter '''r''' = (''x,y,z'') i det tredimensjonale rommet '''E'''<sup>3</sup>, mens hver linje har koordinatene '''n''' = (''u,v,w''). De kan betraktes som dens linjekoordinater og tilsvarer retningen til normalen til planet som skjærer ut storsirkelen på kuleflaten.<ref name = Pedoe/>

Det absolutte kjeglesnittet definerer en polaritet ''C<sub>ij</sub>'' slik at polaren til et punkt ''P'' med  koordinatene (''x,y,z'') har linjekoordinatene {{nowrap|&ell;<sub>''i''</sub> {{=}} ''C<sub>ij</sub>&thinsp;P<sub>j</sub>''&thinsp;}} =  (''x,y,z'').  De tilsvarende vektorene '''r''' og '''n''' er derfor sammenfallende. Polen til en storsirkel tilsvarer dermed et punkt på kuleflaten som ligger på en diameter gjennom kulen og som står [[vinkelrett]] på planet storsirkelen ligger i. Dette er det man vanligvis mener med [[nordpol]] og [[sydpol]] i forhold til [[ekvator]] i [[sfærisk geometri]].

På denne måten vil hver linje gi opphav til to poler. Derfor kalles sfærisk geometri også for en ''dobbeltelliptisk'' geometri hvor teorien for pol og polare benyttes i beskrivelsen av [[sfærisk trekant|sfæriske trekanter]]. Hvis man forlanger at hver linje bare skal ha en dual pol, vil det resultere i ''enkeltelliptisk'' geometri. Da vil de to punktene på kuleflaten som en vektor '''r''' i '''E'''<sup>3</sup> skjærer gjennom, identifiseres med hverandre. Selv om det resulterende, elliptiske planet dermed har denne ønskede egenskapen, er det omtrent umulig å forestille seg det.