Redigerer Niels Henrik Abel (avsnitt)

=== Ligningsteorien ===

De gamle babylonerne kunne løse andregradsligninger, mens italienske regnemestere som [[Girolamo Cardano|Cardano]], [[Tartaglia]] og [[Lodovico Ferrari|Ferrari]] fant metoder for å løse ligninger av tredje og fjerde grad. På Abels tid var en av de største utfordringene å finne en metode for å løse femtegradsligninger på samme måte som en kan løse ligninger av andre, tredje og fjerde grad.<ref name="Holme" /> Man ønsket altså å finne en metode for å finne røttene av en generell femtegradsligning av typen:

:<math>a_1 x^5 + a_2 x^4 + a_3 x^3 + a_4 x^2 + a_5 x + a_6 = 0</math>

Allerede mens Abel var elev ved Katedralskolen hadde han funnet en formel for å løse slike femtegradsligninger, og hverken Abel eller noen andre matematikere i Norge klarte å finne noen feil i formelen. Men etter at Ferdinand Degen i København hadde stilt seg skeptisk til dette, ble Abel han mer og mer overbevist om at det ikke fantes noen slik generell løsning, og at femtegradsligninger ikke kunne løses ved hjelp av en slik generell formel. På den tiden visste ikke Abel at italieneren [[Paolo Ruffini]] hadde levert et bevis for dette omtrent 25 år før, men etterhvert fant Abel ut at hverken Ruffinis bevis eller hans eget første forsøk på et slikt bevis var holdbare.<ref name="Ore" /> Abel leverte etter hvert to helt fullstendige beviser for dette, og setningen kalles i dag Abel-Ruffinis teorem.

Det er derimot viktig å være klar over at Abel-Ruffinis teorem ikke sier at generelle femtegradsligninger er uløselig. Det setningen viser er at de ikke lar seg løse ved [[N-te rot|rotutdragning]], slik tilfellet er for andre-, tredje- og fjerdegradsligninger. I [[algebraens fundamentalteorem]] viste [[Gauss]] lenge før Abels tid at alle slike ligninger har en løsning uttrykt ved [[komplekse tall]]. Abel prøvde å finne betingelsene som en slik ligning må oppfylle for at den skal ha en [[algebraisk løsning]]. Kan denne uttrykkes kun ved [[kvadratrot|kvadratrøtter]], kan den [[konstruerbare tall|konstrueres]] ved bruk av [[passer]] og [[linjal]].