Redigerer Matrisemekanikk (avsnitt)

==Tilstandsvektorer==

I den første formuleringen av matrisemekanikken betraktet Heisenberg matriseelement som ''x<sub>mn</sub>''&thinsp; og ''p<sub>mn</sub>''. Han visste da fra Einsteins [[Einsteins strålingskoeffisient|strålingskoeffisienter]] at deres kvadrat gir sannsynligheten for overganger mellom atomære tilstander med kvantetallene ''m&thinsp;'' og ''n''. Dette er stasjonære tilstander med energier ''E<sub>m</sub/>&thinsp;'' og ''E<sub>n</sub/>''. Basert på disse tilstandene er Hamilton-matrisen ''H<sub>mn</sub/>&thinsp;'' diagonal.

Som et resultat av Heisenbergs besøk ved [[Universitetet i Cambridge]] i juli 1925, fikk den like unge studenten  [[Paul Dirac]] tidlig kjennskap til den nye kvantemekanikken. Samme høst gjorde han ferdig et arbeid som ga den en alternativ formulering basert på klassisk [[Hamilton-mekanikk]]. Han kunne dermed beskrive system som i utgangspunktet kan befinne seg i vilkårlige tilstander. Sannsynligheten for å observere det i én bestemt tilstand med kvantetallet ''n'', er kvadratetet av en kompleks «sannsynlighetsamplitude» ''&psi;<sub>n</sub>''. De kan tenkes å utgjøre komponentene til en abstrakt vektor ''&Psi;&thinsp;'' som er systemets «tilstandsvektor».<ref name = Dirac> P. Dirac, ''The fundamental equations of quantum mechanics'', Proc. Roy. Soc. '''A109''', 642-653 (1925). [http://www.psiquadrat.de/downloads/dirac1925.pdf PDF] </ref> 

Hver observérbar størrelse ''A&thinsp;'' tilsvarer en kvantemekanisk operator <math>\hat{A}</math> som kan beskrives ved matriselementene ''A<sub>mn</sub>''.  Denne matrisen må være [[Matrise#Konjungert transponering|selvadjungert]] eller ''hermitisk'', det vil si <math> A_{mn}^* =  A_{nm}. </math> Hvis man i et eksperiment måler denne størrelsen når systemet er i tilstanden ''&Psi;'', vil midlere verdi være gitt som

: <math> \langle A\rangle = \sum_{mn} \psi^*_m A_{mn} \psi_n </math>

Man kan nå benytte vanlig [[lineær algebra]] i disse beregningene og derfor velge passende basisvektorer. Heisenbergs opprinnelige formulering representerer derfor  et slikt valg hvor Hamilton-matrisen er diagonal.<ref name = Jammer/> 

===Schrödinger-ligning===

Heisenberg ga også en beskrivelse av hvordan systemet utvikler seg med tiden. Den er gitt ved at de dynamisk variable <math>\hat{A}</math> varierer ifølge Heisenberg-ligningen

: <math> i\hbar {d\over dt} \hat{A} = [\hat{A} , \hat{H}] </math>

Dette er nå en matriseligning og derfor gyldig i enhver basis. Hamilton-matrisen selv forblir derfor uforandret med tiden, noe som uttrykker energiens bevarelse.<ref name = Pais/> 

Bevegelsesligningen uttrykker forandringen som den variable gjennomgår i et veldig kort tidsrom. Men den kan [[integral|integreres]] til å gi forandringen etter en vilkårlig tid,

: <math>\begin{align}  \hat{A}(t) &= e^{i\hat{H}t/\hbar} \hat{A}(0) e^{-i\hat{H}t/\hbar}  \\ &= \hat{A}(0) + \left({it\over\hbar}\right) \left[\hat{H} ,\hat{A}(0)\right] + {1\over 2!}  \left({it\over\hbar}\right)^2 \left[ \hat{H} ,\left[ \hat{H}, \hat{A}(0)\right] \right] + \cdots \end{align}</math>

I dette «Heisenberg-bildet» er tilstandsvektoren ''&Psi;&thinsp;'' konstant med tiden. Men med en forandring av basis, kan man alternativt la denne variere med tiden slik at de dynamiske variable blir uavhengige av tiden. Spinn-matrisene er et eksempel. Det gir en beskrivelse av systemet i «Schrödinger-bildet». For at deres målbare forventningsverdier skal forbli det samme, tilsvarer det å innføre den variable tilstandsvektoren

: <math> \Psi(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar} \Psi(0) </math>

Den oppfyller derfor [[Schrödinger-ligning]]en

: <math> i\hbar  {d\over dt} \Psi = \hat{H}\Psi </math>

hvor nå  [[Hamilton-operator]]en <math>\hat{H}</math> er konstant. På komponentform gir den [[differensialligning]]ene

: <math>  i\hbar {d\over dt} \psi_m(t) = \sum_n H_{mn}\psi_n(t) </math>

Schrödinger-ligningen er mest kjent i den kontinuerlige utgaven hvor den beskriver en ikke-relativistisk partikkel i et potensial. Men på denne formen er den gyldig for alle kvantemekaniske system, ikke-relativistiske og relativiske inkludert [[kvantefeltteori]]er.<ref name = Weinberg/>

I den mer generelle formuleringen av kvantemekanikken som Dirac la grunnlaget for, vil hver observerbar størrelse være beskrevet ved det han kalte et «q-tall», men som i dag vanligvis omtales som en kvantemekanisk  [[kvantemekanikk|operator]]. Den virker i et abstrakt [[Hilbert-rom]] med tilstandsvektorer. For hvert valg av basisvektorer i dette lineære vektorrommet kan virkningen av operatoren uttrykkes ved dens matriseelement. På den måten tar den generelle kvantemekanikken den spesielle formen som Heisenberg utviklet og senere har fått navnet matrisemekanikk.