Redigerer Landés g-faktor (avsnitt)

==Summeregler==

Landés g-faktor kan skrives som 

: <math> g_J =  {3\over 2}  + \frac{S(S+1) - L(L +1)}{2J(J+1)} </math>

I det spesielle tilfellet at ''S'' = ''L'', er derfor ''g<sub>J</sub>'' = 3/2 uavhengig av kvantetallet ''J''. Når det ikke er tilfelle, oppfyller faktorene likevel enkle lovmessigheter i form av summeregler.<ref name = Sommerfeld> A. Sommerfeld, ''Atombau und Spektrallinien'', I. Band, 8. Auflage, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig (1960).</ref> Det følger fra omskrivningen {{nowrap|1/''J''&thinsp;(''J'' + 1) {{=}} 1/''J'' - 1/(''J'' + 1)}}. Hvis nå ''L'' > ''S'', kan man summere alle faktorene over de 2''S'' + 1 forskjellige verdiene av ''J&thinsp;'' fra {{nowrap|''J<sub>min</sub>'' {{=}} ''L - S''&thinsp;}} til {{nowrap|''J<sub>max</sub>'' {{=}} ''L + S''.}} I summen vil da bare første og siste ledd overleve slik at

: <math>\begin{align} \sum_{J= J_{min}}^{J_{max}} g_J &=   {3\over 2}(2S + 1) + {1\over 2}(S - L)(S + L +1)\Big({1\over J_{min}} - {1\over J_{max} + 1}\Big) 
\\ &= 1\cdot (2S+ 1) \end{align} </math>

Tilsvarenede, når  ''L'' < ''S'' vil der være  2''L'' + 1 ledd i summen fra {{nowrap|''J<sub>min</sub>'' {{=}} ''S - L''&thinsp;}} til {{nowrap|''J<sub>max</sub>'' {{=}} ''S + L''&thinsp;}} med det resultat at 

: <math> \sum_{J= J_{min}}^{J_{max}} g_J = 2\cdot (2L + 1). </math>

Dette resultatet er ekvivalent med å si at gjennomsnittsverdien av ''g''-faktorene i dette tilfellet er ''g'' = 2, mens det i det første tilfellet med ''L''  > ''S'' var  ''g'' = 1.

===Paulis permanenssetning===

I sitt arbeid med å forstå den anomale Zeeman-effekten, oppdaget [[Wolfgang Pauli|Pauli]] en direkte forbindelse mellom denne og [[Zeeman-effekt#Paschen-Back-effekt|Paschen-Back-effekten]] ved sterkere magnetfelt.<ref name="Hund"> F. Hund, ''Linienspektren und periodisches System der Elemente'', Springer-Verlag, Berlin (1927). ISBN 978-3-642-49540-3.</ref> Den magnetiske vekselvirkningen i disse to situasjonene er forbundet ved den formelle operatorrelasjonen {{nowrap|''gJ<sub>z</sub>'' {{=}} ''L<sub>z</sub>'' + 2''S<sub>z</sub>''.}} Tar man nå matriseelementet av denne for tilstanden <math> |J,M\rangle</math>, får man på venstre side ganske enkelt ''M&thinsp;g<sub>J</sub>''. På høyre side kan man uttrykke egentilstanden for ''J<sub>z</sub>'' som en lineærkombinasjon av egentilstandene  <math> |M_L,M_S\rangle </math>  for  ''L<sub>z</sub>&thinsp;'' og ''S<sub>z</sub>&thinsp;'' ved bruk av Clebsch-Gordan-koeffisienter. Betegnes de her ved ''C<sub>J</sub>''&thinsp;(''M;M<sub>L</sub>,M<sub>S</sub>''), vil

: <math> |J,M\rangle = \sum_{M_L+M_S = M} C_J(M;M_L,M_S) |M_L,M_S\rangle </math>

Dermed får man sammenhengen 
: <math> Mg_J =  \sum_{M_L+M_S = M}(M_L + 2M_S) |C_J(M;M_L,M_S)|^2 </math>

mellom matriseelementene på de to sidene. Nå har Clebsch-Gordan-koeffisientene alltid egenskapen at

: <math> \sum_J |C_J(M;M_L,M_S)|^2 = 1 </math>

uavhengig av verdiene til ''M<sub>L</sub>&thinsp;'' og ''M<sub>S</sub>''. Summerer man nå uttrykket for ''g<sub>J</sub>&thinsp;'' på begge sider over ''J&thinsp;'' og bytter om på de to summasjonene på høyresiden, fremkommer resultatet

: <math> M\sum_J g_J = \sum_{M_L+M_S = M}(M_L + 2M_S) </math>

Dette er «Paulis permanenssetning».<ref name = Pauli-1923>  W. Pauli, ''Über die Gesetzmässigkeiten des anomalen Zeemaneffektes'' Zeit. f. Physik '''16''', 155– 164 (1923).</ref> Venstre side angir summen av den magnetisk vekselvirkningsenergien ved svake felt, mens høyre side viser hvordan den fordeler seg over de forskjellige tilstandene som opptrer i Paschen-Back-effekten.<ref name = Straumann>  N. Straumann, [https://arxiv.org/pdf/physics/0010003.pdf ''Pauli, from Zeeman Effect to Exclusion Principle''], arXiv:Physics/0010003. </ref>

===Eksempel===
Pauli påpekte at denne sammenhengen kunne også benyttes til å beregne ''g''-faktorene på en enkel måte. Det kan illustreres ved igjen å  betrakte en tilstand med ''S'' = 1 og ''L'' = 2 som gir termen <sup>3</sup>D.  Den inneholder tilstander med  ''J'' = 3, 2 og 1 som splittes av spinn-banekoblingen i svake magnetfelt. Den maksimale verdien av ''J<sub>z</sub>''&thinsp; er ''M'' = 3 tilhørende den ene tilstanden ''J'' = 3. I sterke magnetfelt tilsvarer den den ene Paschen-Back-tilstanden <math>|2,1\rangle</math> som har  {{nowrap|''M<sub>L</sub>'' {{=}} 2}} og  {{nowrap|''M<sub>S</sub>'' {{=}} 1}}. Paulis setning gir derfor 3&sdot;''g''<sub>3</sub> = (2 + 2&sdot;1) = 4 som betyr at {{nowrap|''g''<sub>3</sub> {{=}} 4/3}}. 

Når {{nowrap|''M'' {{=}} 2}}, vil de to Paschen-Back-tilstandene <math>|2,0\rangle</math> og <math>|1,1\rangle</math> bidra, mens for {{nowrap|''M'' {{=}} 1}} vil tre slike tilstander opptre. Setningen til Pauli gir dermed i disse to tilfellene ligningene

: <math>\begin{align} 2\cdot(g_3 + g_2) &= 5 \\ 1\cdot(g_3 + g_2 + g_1) &= 3\end{align}</math>

Med verdien {{nowrap|''g''<sub>3</sub> {{=}} 4/3}} i første ligning  finner man ''g''<sub>2</sub> = 7/6 som igjen gir ''g''<sub>1</sub> = 1/2 fra siste ligning. Omvendt kan setningen benyttes til å finne hvilke tilstander vil opptre i Paschen-Back-effekten fra de observerte ''g''-faktorene i den anomale Zeeman-effekten.<ref name = Pauli-1924> W. Pauli, ''Zur Frage der Zuordnung der Komplexstrukturterme in starken und schwachen äusseren Feldern'', Zeit. f. Physik '''20''', 371-387 (1924).</ref><ref name="Massimi"> M. Massimi, ''Pauli's Exclusion Principle'', Cambridge University Press, Cambridge (2012). ISBN 978-1-107-41073-2.</ref>