Redigerer Feynmans veiintegral (avsnitt)

===Perturbasjonsteori===

For et vilkårlig potensial ''V''(''x'') kan ikke veiintegralet utføres eksakt. Men når det kan betraktes som tilstrekkelig svakt sammenlignet med den kinetiske energien, kan man gjøre bruk av at det ikke involverer operatorer, men vanlige funksjoner som kommuterer med hverandre.  Det er én av fordelene med Feynmans formulering av kvantemekanikken. Da kan den delen av eksponentialfunksjonen som inneholder potensialet, utvikles i en [[Taylor-rekke]] som inneholder dette i stadig høyere potenser. Dermed kan den vekselvirkende propagatoren splittes opp i summen

: <math> K(b;a) = K_0(b;a) + K_1(b;a) + K_2(b;a) + \cdots </math>

hvor ''K''(''b; a'') er den frie propagatoren. Til første orden i potensialet får denne en korreksjon som nå kan skrives på den kompakte måten

: <math> K_1(b;a) = \Big(-{i\over\hbar} \Big) \int_{-\infty}^\infty\! d^4x_1 K_0(b;x_1)V(x_1)K_0(x_1;a) </math>

når man benytter notasjonen ''d''<sup>4</sup>''x'' = ''d''<sup>3</sup>''x&thinsp;dt&thinsp;''. Denne første korreksjonen kan tolkes som at partikkelen starter i punktet ''a&thinsp;'' hvorfra den beveger seg fritt til punktet ''x''<sub>1</sub> hvor den vekselvirker med potensialet. Derfra beveger den seg så fritt igjen til sluttpunktet ''b''. Til neste orden i denne rekkeutviklingen finner man på samme måte korreksjonen

: <math> K_2(b;a) = \Big(-{i\over\hbar}\Big)^2 \int_{-\infty}^\infty\! d^4x_2 \int_{-\infty}^\infty\! d^4x_1 K_0(b;x_2)V(x_2)K_0(x_2;x_1) V(x_1) K_0(x_1;a) </math>

Den involverer på tilsvarende vis to vekselvirkninger med potensialet. Påfølgende ledd i rekkeutviklingen kan nå lett finnes. Hvert av dem kan illustreres
med et [[Feynman-diagram]] som i dette tilfellet er en brukket linje mellom punktene ''a&thinsp;'' og ''b&thinsp;'' hvor hver brekk angir hvor potensialet virker.<ref name = FH/>

Når potensialet ''V''(''x'') er tilstrekkelig svakt, vil bare de første leddene i denne rekken være av betydning. Man har dermed et resultat for den fulle propagatoren som også kan beregnes i [[Propagator#Perturbasjonsteori|perturbasjonsteori]]. Rekkeutviklingen tilsvarer [[Vekselvirkningsbildet#Born-serie|Born-approksimasjonen]] som benyttes for [[Spredningstverrsnitt#Born-approksimasjon|spredning]] av elementærpartikler.

Propagatorer for [[Propagator#Relativistiske partikler|relativistiske partikler]] kan også defineres. Men de kan ikke uten videre skrives som veiintegral. I motsetning til den ikke-relativistiske propagatoren beveger de partikler både fremover og bakover i tiden. Det skyldes at de tilsvarende bølgeligningene inneholder løsninger som beskriver   partikler med negativ energi. De tilsvarer [[antipartikkel|antipartikler]] som beveger seg fremover i tiden.<ref name = Schweber/>