Redigerer WKB-approksimasjon (avsnitt)

==Bakgrunn==

For en partikkel med masse ''m'' som beveger seg i et statisk potensial ''V''(''x'') med gitt energi ''E'', er den [[Schrödinger-ligning|stasjonære Schrödinger-ligning]]en

: <math> \Big[ -{\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2 + V(\mathbf{x}) \Big] \psi(\mathbf{x}) = E \psi(\mathbf{x}) </math>

der ''ħ'' er den reduserte [[Plancks konstant|Planck-konstanten]]. Den kan omformes til 

: <math> [\boldsymbol{\nabla}^2 + p^2(\mathbf{x})/\hbar^2]\psi(\mathbf{x}) = 0 </math>

hvor

: <math>  p^2(\mathbf{x}) = 2m[E - V(\mathbf{x})] </math>

er den klassiske [[bevegelsesmengde|impulsen]] partikkelen har i hvert punkt i potensialet. I det spesielle tilfellet at dette er konstant, er løsningen av ligningen <math> \psi(\mathbf{x}) = e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}/\hbar} </math> som beskriver en plan bølge hvor impulsen '''p''' har en viss størrelse bestemt av potensialet, men en vilkårlig retning. For et variabelt potensial kan man da prøve å finne en løsning på formen <math> \psi(\mathbf{x}) = e^{iW(\mathbf{x})/\hbar} </math> hvor funksjonen ''W''('''x''') må bestemmes. Det gjøres ved å sette inn i den omskrevne Schrödinger-ligningen som da gir

: <math> i\hbar \boldsymbol{\nabla}^2 W - (\boldsymbol{\nabla}W)^2 + p^2(\mathbf{x}) = 0 </math>

Hvis nå den «klassiske grensen» av kvanteteorien defineres ved å la Plancks konstant ''ħ'' &rarr; 0, kan funksjonen ''W''('''x''') finnes fra den resulterende ligningen som kan skrives på formen

: <math> {1\over 2m}(\boldsymbol{\nabla}W)^2  +  V(\mathbf{x}) = E </math>

Dette er [[Hamilton-mekanikk#Hamilton-Jacobi-ligningen|Hamilton-Jacobi-ligningen]] som beskriver [[klassisk mekanikk]]. Den tilsvarer [[eikonalapproksimasjon|eikonalligningen]] i geometrisk optikk.<ref name = Goldstein> H. Goldstein, ''Classical Mechanics'', Addison-Wesley Publishing Company, New York (1959).</ref>

For å ta med effekten av [[kvantemekanikk]] til laveste orden i Plancks konstant, kan man da skrive {{nowrap|''W'' {{=}} ''W''<sub>0</sub> - ''iħ&thinsp;W''<sub>1</sub>.}} Det er ekvivalent med å anta en løsning på formen <math> \psi(\mathbf{x}) = A(\mathbf{x})e^{iW(\mathbf{x})/\hbar} </math> etter å ha satt  ''W''<sub>0</sub>&thinsp; lik med ''W&thinsp;'' og {{nowrap|''A'' {{=}} ''e''<sup>''W''<sub>1</sub></sup>.}} Innsatt i Schrödinger-ligningen finner man da samme ligning for Hamilton-Jacobi-funksjonen  ''W''('''x'''), men et nytt bidrag kommer fra amplitudefunksjonen ''A''('''x'''). Sammen med det tidligere, imaginære bidraget gir de to leddene den ny ligningen

: <math> A\boldsymbol{\nabla}^2 W + 2(\boldsymbol{\nabla}A)\cdot(\boldsymbol{\nabla}W) = 0 </math>

Den betyr at [[Schrödinger-ligning|sannsynlighetsstrømmen]] '''J''' = ''A''<sup>2</sup>&thinsp;'''&nabla;'''''W'' for bølgefunksjon ''&psi;''('''x''')&thinsp; er [[kontinuitetsligning|bevart]], det vil si at {{nowrap|'''&nabla;'''&sdot;'''J''' {{=}} 0}}. Man kan i prinsippet gjøre denne tilnærmelsen enda bedre ved å inkludere neste orden på formen {{nowrap|''W'' {{=}} ''W''<sub>0</sub> - ''iħ&thinsp;W''<sub>1</sub> + ''ħ''<sup>2</sup>''W''<sub>2</sub>,}} men dette er i praksis sjelden nødvendig.<ref name = Messiah> A. Messiah, ''Quantum Mechanics'',  Vol. 1, John Wiley & Sons, New York (1966). </ref>