Redigerer Vektorrom (avsnitt)

== Formell definisjon ==
Et ''vektorrom'' er en mengde ''V'' av vektorer sammen med en tilhørende kropp ''K'' med skalarer.<ref name=PRH1/><ref name= RDM1/>  I vektorrommet er det definert to operasjoner kalt vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon, slik at for alle vektorer '''u''' og '''v''' og skalarer ''a'' og ''b'', så er også [[lineærkombinasjon]]en (''a'''''u''' + ''b'''''v''') et element i ''V''.  For vektoraddisjonen gjelder de følgende aksiomene:
{|
|- valign="top"
|width=100| '''[[kommutativ lov|Kommutativitet]]'''
| '''u''' + '''v''' = '''v''' + '''u''' for alle '''u''', '''v''' ∈ ''V''
|- valign="top" 
| '''[[Assosiativ lov|Assosiativitet]]''' 
| '''u''' + ('''v''' + '''w''') = ('''u''' + '''v''') + '''w''' for alle '''u''', '''v''', '''w''' ∈ ''V''
|- valign="top"
| '''[[Binær operasjon#Enhetselement|Nullelement]]'''
| Det finnes et element '''0''' ∈ ''V'' (kalt nullelement, enhetselement eller [[Binær operasjon#Enhetselement |identitetselement]]) som tilfredsstiller '''u''' + '''0''' = '''u''' for alle '''u''' ∈ ''V''
|- valign="top"
| '''Invers'''
| For hvert element '''u''' ∈ ''V'' finnes det et element (-'''u''') ∈ ''V'' slik at '''u''' + (-'''u''') = '''0'''
|}

For skalarmultiplikasjonen gjelder følgende aksiomer:

{|
|- valign="top"
|width=100|'''[[Distributiv lov|Distributivitet]] 1'''
| ''α'' ('''u''' + '''v''') = ''α'' '''u''' + ''α'' '''v'''  for alle ''α'' ∈ ''K'' og '''u''', '''v''' ∈ ''V''
|- valign="top"
| '''Distributivitet 2'''
| (''α'' + ''β'') '''u''' = ''α'' '''u''' + ''β'' '''u'''  for alle ''α'', ''β'' ∈ ''K'' og '''u''' ∈ ''V''.
|- valign="top"
| '''Multiplikasjon'''
| ''α''(''β'' '''u''') =  (''αβ'') '''u''' for alle ''α'', ''β'' ∈ ''K'' og '''u''' ∈ ''V''.
|- valign="top"
| '''Enhetselement'''
| 1 '''u''' = '''u''' for alle '''u''' ∈ ''V''.
|}

Aksiomet kalt ''Multiplikasjon'' gir en sammenheng mellom skalarmultiplikasjon og multiplikasjon i ''K'', og dette må ikke forveksles med assosiativitet.  

=== Notasjon ===
Vektorer skrives ofte i fet skrift, slik som vist over.  Dersom typen objekt går fram av sammenhengen vil en ofte skrive både skalarer og vektorer med samme typesetting, som i skalarproduktet (''ku'').  I håndskrift brukes ofte en strek under eller over bokstaven for å markere en vektor.  Formen der en vektor skrives som en bokstav med pil over <math>\vec v</math> er kanskje mest vanlig i fysikk.  

Vanlig addisjonssymbol brukes både for vektoraddisjon og addisjonen av skalarer, selv om dette er to ulike operasjoner, definert i to forskjellige mengder.  For likhet mellom vektorer brukes i dag det vanlige [[likhetstegn]]et =, men historisk har en rekke ulike symboler vært brukt, blant annet #, <math>\equiv</math> og <math>\bumpeq</math>.<ref name=NOT2/>

Et vektorrom ''V'' med en mengde skalarer ''K'' uttrykkes gjerne i kortform som vektorrommet «''V'' over ''K''».  Skalarene er vanligvis reelle eller komplekse tall.  Et vektorrom med reelle skalarer kalles et reelt vektorrom.  Likedan har et komplekst vektorrom komplekse skalarer og et rasjonalt vektromrom har [[rasjonalt tall|rasjonale tall]].  Dersom en ønsker å presisere at skalarobjektene er i en kropp ''K'', kan en bruke skriveformen ''K-vektorrom''.

=== Grunnleggende egenskaper  ===
Definisjonen av vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon medfører at rommet er lukket med hensyn på disse operasjonene.  

''Subtraksjon'' av to vektorer defineres umiddelbart fra vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon, ved

:<math>\mathbf{u}-\mathbf{v}=\mathbf{u} + (-1)\mathbf{v} \, </math>

Et vektorrom er en [[abelsk gruppe]] med hensyn på vektoraddisjon.  I en slik [[gruppe (matematikk)|gruppe]] er den definerte operasjonen kommutativ. 

Det første distributivitetsaksiomet betyr at multiplikasjon med elementer i kroppen ''K'' opererer som en [[gruppeendomorfi]], og de resterende aksiomene impliserer at kroppstrukturen til ''K'' og [[ring (matematikk)|ringstrukturen]] til [[endomorfisme-ring]]en End(''V'') er kompatible.<sup>[''[[Wikipedia:Bruk av kilder|Trenger forklaring og referanse]]'']</sup>   

=== Alternative definisjoner ===
I litteraturen blir definisjonen av vektorrom presentert på flere ulike måter, der grunnleggende konsekvenser blir tatt som forutsetninger, og omvendt.  For eksempel kan operasjonene i ''K'' presiseres med aksiomer, med egenskapen at disse utgjør en kropp som en avledet konsekvens.<sup>[''[[Wikipedia:Bruk av kilder|Trenger referanse]]'']</sup>   

Aksiomene for vektoraddisjon om eksistens av nullelement og av invers kan erstattes av ett enkelt aksiom:<ref name=TLS2/>  For alle vektorer '''u''' og '''v''' i mengden eksisterer det en entydig bestemt vektor '''w''' slik at '''u''' + '''w''' = '''v'''.  Dette aksiomet inneholder de to andre som spesialtilfeller.    

Med terminologi fra [[abstrakt algebra]] kan vektorrom defineres som en matematisk struktur sammensatt av en abelsk gruppe ''V'', en kropp ''K'' og en [[ringhomomorfi]] ''K'' → End(''V''). 
Gitt en skalarmultiplikasjon som over, så eksisterer det en ringhomomorfi ξ : ''K''→ End(''V'') gitt ved  ξ(α)('''u''') := ''α'''''u'''. En ringhomomorfi ξ : ''K''→ End(''V'') definerer en skalarmultiplikasjon ved ''α'''''u''' := ξ(α)('''u''').