Redigerer Variasjonsregning (avsnitt)

==Euler-Lagrange-ligningen==
[[Image:variation_calc-2.jpg|thumb|right|300px|En liten variasjon &delta;''y'' av funksjonen ''y(x)'' tas med konstant argument ''x''.]]

Hvis en funksjon  ''f''(''x'') har en ekstremalverdi i et punkt ''x'', så er den [[derivasjon|deriverte]] {{nowrap|''df''&thinsp;/''dx'' {{=}} 0}} i dette punktet. Hvis vi ser på funksjonen i meget nærliggende punkt  {{nowrap|''x' {{=}} x + &delta;x''}}  hvor ''variasjonen''  ''&delta;x''  er veldig liten, kan man beregne forandringen av funksjonen {{nowrap|&delta;''f'' {{=}}  ''f''(''x'&thinsp;'') - ''f''(''x'')}} ved bruk av en [[Taylor-rekke]]. I grensen hvor  {{nowrap|''&delta;x'' &rarr; 0}} tar man med kun første ledd som gir {{nowrap|&delta;''f'' {{=}} (''df''&thinsp;/''dx'')''&delta;x''}} som derfor er null.<ref name = TL-3> R. Tambs Lyche, ''Matematisk Analyse'', Vol. III, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1959).</ref> 

På tilsvarende vis antok Lagrange at funksjonalen ''I = I[y]''  i forrige seksjon har en ekstremalverdi for en bestemt funksjon ''y= y(x)'' som går gjennom de to gitte endepunktene ''A'' og ''B'' som vist i figuren. En meget liten forandring av denne funksjonen til ''y'(x) = y(x) + &delta;y(x)''  vil nå gi en forandring av funksjonalen som må være null hvis ''y(x)'' allerede gir en ekstremalverdi. Dette er selvfølgelig i grensen hvor variasjonen 

: <math> \delta y(x)  = y'(x) - y(x) </math>

er neglisjerbar. Det er viktig at denne variasjonen foretas uten at argumentet ''x'' forandres. Den resulterende variasjon av funksjonalen blir dermed

:<math> \delta I = \int_{x_A}^{x_B} \!dx \left[{\partial F\over\partial y}\delta y  + {\partial F\over\partial \dot{y}} \delta\dot{y}\right]  </math>

da vi kan derivere under integraltegnet. Men nå har vi at

: <math> {d\over dx} \delta y(x)  = \dot{y}'(x) - \dot{y}(x) = \delta\dot{y}  </math>

som innsatt gir

:<math> \delta I = \int_{x_A}^{x_B} \!dx \left[{\partial F\over\partial y}\delta y  + {\partial F\over\partial \dot{y}}  {d\over dx} \delta y(x)\right]  </math>

I det siste leddet kan vi nå foreta en partiell integrasjon som gir

:<math> \delta I = \int_{x_A}^{x_B} \!dx \left[{\partial F\over\partial y} - {d\over dx}\Big( {\partial F\over\partial \dot{y}}\Big) \right] \delta y + \left|  {\partial F\over\partial \dot{y}} \delta y(x)\right|_{x_A}^{x_B}  </math>

Da endepunktene under integrasjonen ligger fast, vil ''&delta;y(x<sub>A</sub>) = &delta;y(x<sub>B</sub>) = 0''  slik at den siste termen her blir null. Men i den første termen vil &delta;''y'' &ne; 0  under integraltegnet. Den eneste måten for at variasjonen av funksjonalen skal bli null, er derfor at firkant-parentesen der er null. Og det gir akkurat ligningen til Euler og Lagrange. Noen ganger skrives dette ved å forlange at den ''funksjonalderiverte'' definert som

:<math>  {\delta I[y]\over \delta y(x)} = {\partial F\over\partial y} - {d\over dx}\Big( {\partial F\over\partial \dot{y}}\Big), </math>

skal være null på samme måte som at den vanlige deriverte av en funksjon er null i et ekstremalpunkt.<ref name = Boas> M.L. Boas, ''Mathematical Methods in the Physical Sciences'', John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.</ref> Denne ligningen ble først utledet av [[Leonhard Euler]] på midten av 1700-tallet.<ref> L. Euler, [https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E065.html ''Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes''], skannet original fra Dartmouth College, USA.</ref>

I det mer generelle tilfellet inneholder integranden i variasjonsproblemet flere funksjoner av den samme variable. Er disse ''y<sub>1</sub>(x)'',  ''y<sub>2</sub>(x)'', .... ,  ''y<sub>N</sub>(x)'', kan vi betegne dem kollektivt som  ''y<sub>i&thinsp;</sub>(x)'' hvor indeksen ''i'' går fra 1 til ''N''. Funksjonalen kan da skrives som

:<math> I = \int_{x_A}^{x_B} \!dx F(y_i,\dot{y_i},x) </math>

Dens samlede variasjon av denne funksjonalen under variasjonene &delta;''y<sub>i&thinsp;</sub>(x)''  av disse funksjonene, gir nå på samme måte opphav til ''N'' Euler-Lagrange-ligninger,

:<math> {\partial F\over\partial y_i} - {d\over dx}\Big( {\partial F\over\partial \dot{y_i}}\Big) = 0 </math>

som alle må være oppfylt. Løsningen av ligningene vil gi en ekstremalverdi for problemet under betraktning. Om dette er en minimal- eller maksimalverdi, må undersøkes nærmere ved å regne ut for denne funksjonalen det som tilsvarer den andrederiverte av en vanlig funksjon.

Samme Euler-Lagrange-ligning kan resultere fra forskjellige funksjoner ''F(y,y',x)'' som skal ekstremaliseres. De må da skille seg fra hverandre med en totalderivert ''dG/dx'' hvor funksjonen ''G = G(y)'' er uavhengig av den deriverte ''y' = dy/dx''. En slik term vil da gi opphav til et ekstra bidrag

: <math> \delta I = \left|G'(y)\delta y(x)\right|_{x_A}^{x_B}  </math>

til variasjonen av funksjonalen. Men dette er null da variasjonene ''&delta;y(x<sub>A</sub>)'' og ''&delta;y(x<sub>A</sub>)'' begge er null i randpunktene. 

===Geodetisk linje===
Korteste kurve mellom to punkt i en [[flate]] kalles en [[geodetisk kurve]]. Er flaten et plan med kartesiske koordinater ''x'' og ''y'', er lengden av et lite linjestykke

: <math> ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = dx\sqrt{1 + y'^2}  </math>

hvor nå ''y' = dy/dx''. Vi vil nå finne kurven med den korteste lengden som forbinder origo (0,0) med punktet (''x<sub>B</sub> = a'', ''y<sub>B</sub> = b''). En vilkårlig kurve ''y = y(x)'' som forbinder disse to punktene, har en lengde ''L'' som finnes ved å summere alle de små linjestykkene den består av. Blir disse små nok, er denne summen gitt ved integralet

: <math> L = \int_0^a\!dx \sqrt{1 + y'^2}  </math>

I dette eksemplet er derfor ''F(y,y') = &radic;(1 +y'<sup>&thinsp;2</sup>)''. Dermed blir ''&part;&thinsp;F/&part;&thinsp;y = 0'' og ''&part;&thinsp;F/&part;&thinsp;y' = y'/&radic;(1 +y'<sup>&thinsp;2</sup>)'' slik at Euler-Lagrange-ligningen tar formen

: <math> {d\over dx}\Big( {y'\over \sqrt{1 + y'^2}}\Big)  = {y''\over (1 + y'^2)^{3/2}} = 0 </math>

For at ligningen skal være oppfylt, må derfor den andrederiverte ''y" = 0''. Den førstederiverte ''y''' er derfor konstant, noe som definerer en rett linje. Tar vi hensyn til de gitte grensebetingelsene, blir ligningen for denne dermed ''y = (b/a)x''.

Dette resultatet kunne vi nesten ha skrevet ned med en gang, uten noen bruk av variasjonsregning. Men hadde vi sett på et tilsvarende problem i en [[differensiell flategeometri|krum flate]], er bruk av Euler-Lagrange-ligningen nødvendig.