Redigerer Tidekraft (avsnitt)

==Matematisk beskrivelse==

I et [[gravitasjonspotensial]] &Phi; = &Phi;('''r''')&thinsp; vil [[gravitasjonsfelt]]et {{nowrap|'''g''' {{=}} - '''&nabla;'''&thinsp;&Phi;}} virke på en masse ''m'' med [[kraft]]en {{nowrap|'''F''' {{=}} ''m''&thinsp;'''g'''}}. Betrakter man to nærliggende punkt '''r''' og '''r''' + &Delta;'''r''', vil forskjellen i gravitasjonsfeltet {{nowrap|&Delta;'''g''' {{=}} '''g'''('''r''' + &Delta;'''r''') - '''g'''('''r''')&thinsp;}} i disse to punktene derfor ha komponentene

: <math> \Delta g_i = {\partial g_i\over\partial x_j}\Delta r_j = - {\partial^2\Phi\over\partial x_i\partial x_j}\Delta r_j </math>

når man benytter [[Einsteins summekonvensjon]] og summerer over like indekser. Den [[derivasjon|dobbeltderiverte]] av potensialet

: <math> H_{ij} =  - {\partial^2\Phi\over\partial x_i\partial x_j} </math>

bestemmer derfor tidekreftene i punktet '''r'''.<ref name = HF> L.N. Hand and J.D. Finch, ''Analytical Mechanics'', Cambridge University Press, England (1998). ISBN 0-521-57572-9.</ref> Det er en symmetrisk [[tensor]] og er direkte forbundet med de geometriske egenskapene til [[tidrom]]met i den newtonske grensen av [[Einstein]]s [[generell relativitet|generelle relativitetsteori]] hvor den gir komponentene til [[Einsteins feltligning|Riemanns krumningstensor]].<ref name = Schutz> B.F. Schutz, ''A First Course in General Relativity'',  Cambridge University Press, England (2009). ISBN 978-0-521-88705-2.</ref>

For potensialet &Phi; = - ''GM''/''r''&thinsp; i avstand ''r'' fra en sentral masse ''M'', kan denne tensoren lett beregnes. Da er {{nowrap|&part;&Phi;/&part;''x<sub>i</sub>'' {{=}} (''GM''/''r<sup>&thinsp;2</sup>'')(&part;''r''&thinsp;/&part;''x<sub>i</sub>'')}} hvor den deriverte {{nowrap|&part;''r''&thinsp;/&part;''x<sub>i</sub>'' {{=}} ''x<sub>i</sub>''&thinsp;/''r''}} følger direkte fra avstanden ''r'' uttrykt ved sine kartesiske komponenter. Enda en tilsvarende derivasjon gir da

: <math> H_{ij}(r) = {GM\over r^5}\left(3x_ix_j - r^2 \delta_{ij}\right) </math>

etter å ha innført [[Kronecker-delta]] ''&delta;<sub>ij</sub>'' = &part;''x<sub>i</sub>''&thinsp;/&part;''x<sub>j</sub>''.<ref name = HF/>  Disse komponentene av tensoren opptrer også i «kvadrupoltermen» til [[multipolutvikling]]en av et mer vilkårlig gravitasjonspotensial.

I praktiske konsekvenser av tidekreftene vil man ofte kjenne disse i et lite område omkring et visst punkt utenfor en annen masse ''M'' eller massefordeling. Ligger denne langt borte i en avstand ''R'', vil gravitasjonspotensialet der ha en størrelse &Phi; = - ''GM''/''R''. I et lite område i avstand ''r'' << ''R'' fra dette punktet er da tidekreftene gitt ved komponentene

: <math> \Delta g_i = H_{ij}(R)r_j = {GM\over R^5}\left(3X_iX_j - R^2 \delta_{ij}\right)r_j </math>

Mer kompakt kan dette resultatet skrives på vektorform som

: <math> \Delta\mathbf{g} = {GM\over R^3} \left[ 3\hat{\mathbf{R}}(\mathbf{r}\cdot\hat{\mathbf{R}}) - \mathbf{r} \right]  </math>

hvor enhetsvektoren <math> \hat{\mathbf{R}} = \mathbf{R}/R.</math> Det viser at tidekraften er størst for posisjoner '''r''' som er i samme eller motsatt retning som '''R'''. Der virker den utover. I retninger vinkelrett på denne virker den innover og har bare halvparten av størrelsen.