Redigerer Slutsky-likningen (avsnitt)

== Matematisk utledning ==

=== Utledning av Marshallianske (ordinære) etterspørselsfunksjoner ===
Vi antar en [[konsument]] med [[Konsumentteori|preferanser]] på formen:

<math>U(c_1, c_2,..., c_n)=U(\vec{c} \ )</math>

[[Vektor (matematikk)|Vektoren]] <math>\vec{c}</math> er et sett som beksriver alle konsumgoder (<math>c_1,c_2,...,c_n</math>) som konsumenten har nytte av. Vi antar at preferansene har følgende egenskaper:

<math>{\partial U\over\partial c_i}>0 \qquad 
{\partial^2 U\over\partial c_i^2}<0 \qquad 
 </math> der <math>i\in[1,2,...,n]  </math>

Det innebærer at konsumenten får økt nytte når han får mer av et konsumgode, men at nytten er avtagende. Konsumenten står overfor budsjettbetingelsen:

<math>p_1c_1+p_2c_2+...+p_nc_n=\vec{p} \ \vec{c}=w </math>

Her er <math>p_i </math> prisen på konsumvare <math>c_i </math>, og <math>w </math> er konsumentens inntekt. Vi antar at konsumentens inntekt er eksogen (dvs. at inntekten tas for gitt). Problemet til konsumenten er altså å fordele inntekten på de ulike konsumgodene slik at han får mest mulig nytte. 

Matematisk kan vi formulere problemet som:

<math>max_{\vec{c}} \ \biggl( U(\vec{c}) \ | \ \vec{p} \ \vec{c}=w \biggr)  </math>

Problemet gir oss følgende [[Matematisk analyse|førsteordensbetingselser]]:

<math>{{\partial U\over\partial c_i}\over {\partial U\over\partial c_j}}={p_i\over p_j } </math>  der  <math>i, j\in[1,2,...,n]   </math>

Førsteordensbetingelsene sammen med budsjettbetingelsen lar oss løse for optimale kvanta av de ulike konsumgodene:

<math>c_1^*=D_1(\vec{p},w) \qquad
c_2^*=D_2(\vec{p},w) \qquad
\cdots \qquad
c_n^*=D_n(\vec{p},w)  </math>

Vi har altså at <math>D_i(\vec{p},w)  </math>  er konsumentens (ordinære) [[Marshalliansk etterspørselsfunksjon|etterspørselsfunksjon]] for vare <math>i  </math>.<ref name=":0" /> 

Ved å sette inn etterspørselsfunksjonene i konsumentens preferansefunksjon får vi den indirekte preferansefunksjonen<ref name=":0" />:

<math>U(c_1^*,c_2^*,...,c_n^*)=U(D_1(\vec{p},w),D_2(\vec{p},w),...,D_n(\vec{p},w))\equiv V(\vec{p},w)  </math>

Den indirekte preferansefunksjonen forteller hvor mye nytte konsumenten får for gitte priser og gitt inntekt, etter han har tilpasset seg optimalt.

=== Utledning av Hicksiske (kompenserte) etterspørselsfunksjoner ===
Nytten som konsumenten fikk i avsnittet over, da vi maksimerte nytten for en gitt inntekt, kan vi skrive som <math>V(\vec{p},w) =u  </math>, der <math>u  </math> er en konstant. Nå stiller vi oss følgende spørsmål: hvis vi legger til grunn at nyttenivået <math>u  </math> skal oppnås, hvor lav inntekt kan konsumenten klare seg med? Det vi da ønsker å gjøre, er å minimere inntekten for en gitt nytte. Konsumentens problem blir:

<math>min_\vec{c} \ \biggl(  p_1c_1+p_2c_2+...+p_nc_n \ | \ U(\vec{c} \ )=u \biggr)  </math>

Vi skriver at <math>p_1c_1+p_2c_2+...+p_nc_n\equiv e(\vec{c} \ ) </math>. Her blir <math>e(\vec{c} \ ) </math> å betrakte som de utgiftene konsumenten får når han skal kjøpe seg konsumgodene <math>\vec{c} </math> til prisene <math>\vec{p} </math>. M.a.o.: Konsumenten har bestemt seg for at nyttenivået <math>u  </math> skal oppnås, og han ønsker å gjøre det til lavest mulige utgifter. Ved å løse problemet kan vi se at førsteordensbetingelsene er de samme som da vi utledet de Marshallianske etterspørselsfunksjonene. Førsteordensbetingelsene sammen med nyttebetingelsen <math>U(\vec{c} \ )=u </math> lar oss løse for de optimale kvanta av de ulike konsumgodene:

<math>c_1^*=H_1(\vec{p},u) \qquad
c_2^*=H_2(\vec{p},u) \qquad
\cdots \qquad
c_n^*=H_n(\vec{p},u)  </math>

Dette kalles for de "Hicksianske" eller de [[Hicksiansk etterspørselsfunksjonen|"kompenserte" etterspørselsfunksjonene]].<ref name=":0" /> <math>H_i(\vec{p},u)  </math> forteller oss hvor mange enheter det er optimalt for konsumenten å kjøpe av konsumgode <math>i  </math> for gitte priser og gitt nyttenivå. Det følger av preferansefunksjonens egenskaper og førsteordensbetingelsene at  <math>{\partial H_i \over \partial p_i} <0  </math>.

Setter vi de Hicksianske etterspørselsfunksjonene inn i utgiftsfunksjonen <math>e(\vec{c} \ ) </math>, finner vi den utgiften som konsumenten må ut med hvis han skal oppnå nyttenivået <math>u  </math>:

<math> e(c_1^*, c_2^*,...,c_n^*)=p_1 c_1^*+p_2 c_2^*+...+p_n c_n^*=p_1 H_1(\vec{p},u)+p_2 H_2(\vec{p},u)+...+p_n H_n(\vec{p},u)\equiv E(\vec{p},u)  </math>

Vi har altså at hvis nyttenivået <math>u  </math> skal oppnås, ja da må konsumenten bruke ''minst'' <math>E(\vec{p},u) </math> kroner.

=== Utledning av Slutsky-likningen ===
Ettersom vi bestemte i stad at <math>u  </math> er det nyttenivået som realiseres når konsumenten maksimerer sin nytte for gitte priser og den gitte inntekten <math>w  </math>, altså at <math>u=V(\vec{p},w) </math>, skjønner vi at maksimeringsproblemet <math>max_{\vec{c}} \ \biggl( U(\vec{c}) \ | \ \vec{p} \ \vec{c}=w \biggr)  </math> og minimeringsproblemet <math>min_\vec{c} \ \biggl(  p_1c_1+p_2c_2+...+p_nc_n \ | \ U(\vec{c} \ )=u \biggr)  </math>  er to sider av samme sak. Vi vet dermed at så lenge <math>u=V(\vec{p},w) </math>, så vil <math>w=E(\vec{p},u) </math>. og da må <math>H_i(\vec{p},u) =D_i(\vec{p},E(\vec{p},u)) </math>. Ved derivasjon av <math>H_i(\vec{p},u)  </math> mhp. <math>p_i</math> får vi:

<math>{\partial H_i(\vec{p},u) \over \partial p_i} = { \partial D_i(\vec{p},w) \over \partial p_i}+{ \partial D_i(\vec{p},w) \over \partial w} {\partial E(\vec{p},u) \over \partial p_i} </math>

Fra definisjonen av <math>E(\vec{p},u) </math>, ser vi at  <math>{\partial E(\vec{p},u) \over \partial p_i}=H_i(\vec{p},u) =c_i^* </math>. Vi kan dermed skrive derivasjonen av <math>H_i(\vec{p},u)  </math> som:

<math>(1) \ { \partial D_i(\vec{p},w) \over \partial p_i} ={\partial H_i(\vec{p},u) \over \partial p_i} - c_i^* { \partial D_i(\vec{p},w) \over \partial w} </math> 

Ved derivasjon av <math>H_i(\vec{p},u)  </math> mhp. <math>p_j</math> får vi et analogt resultat:

<math>(2) \ { \partial D_i(\vec{p},w) \over \partial p_j} ={\partial H_i(\vec{p},u) \over \partial p_j} - c_j^* { \partial D_i(\vec{p},w) \over \partial w} </math>

Likning (1) og likning (2) er eksempler på Slutsky-likningen.<ref name=":0" />