Redigerer SIR-modell (avsnitt)

==Matematisk beskrivelse==
Man antar at det totale antall individer i populasjonen er konstant, det vil si man inkluderer også de som eventuelt dør. Dette antallet kan varierer fra sted til sted og ha forskjellige verdier. Det kan heller ikke være for stort da modellen bygger på den underliggende antagelsen at et individ i prinsippet kan smitte alle andre i populasjonen. For at det skal kunne skje, må det være store mobilitet som ikke vil være tilstede hvis populasjonen er for stor.

Siden det totale antall individer kan variere fra situasjon til situasjon, er det mer praktisk å benytte de relative antall med individer i hver gruppe. Benytter man ''S'' (en:''susceptible'') for dette tallet med usmittete, ''I&thinsp;'' for det relative antall smittete (en:''infected'') og ''R&thinsp;'' for det tilsvarende antall resistente, vil man da ha sammenhengen

: <math> S + I + R = 1 </math>

da disse tre størrelsene er relative antall hvis sum forblir konstant. Det er disse betegnelsene som har gitt navnet til modellen.<ref name = Britten>N.F. Britten, ''Essential Mathematical Biology'', Springer-Verlag, London (2003). ISBN 1-85233-536-6.</ref>

===Vekstligninger===

Etterhvert som epidemien utvikler seg, vil tallene ''S'', ''I&thinsp;'' og ''R&thinsp;'' bli [[funksjon (matematikk)|funksjoner]] av tiden ''t''. Dette kan beskrives ved [[eksponentiell vekst#Vekstligninger|vekstligninger]] på samme måte som for [[eksponentiell vekst]]. Antall smittete ''S'' vil jevnt avta med en hastighet som er proporsjonal med antall infiserte. Man har dermed den første vekstligningen

: <math> {dS\over d t} = - b SI </math>

hvor ''b'' er ''smittefrekvensen'' som karakteriserer sannsynligheten for at en usmittet skal få smitten fra en som allerede er infisert. Antall smittete øker i tilsvarende takt. Men samtidig har hver smittet også en viss sannsynlighet for å bli ferdig med sykdomsforløpet og deretter være resistent. Betegnes denne ''helbredelsesfrekvensen'' med ''a'', vil antall infiserte forandre seg ifølge ligningen

: <math> {dI\over d t} =  b SI  - a I </math>

Antall resistente øker med samme frekvens som infiserte blir helbredet slik at

: <math> {dR\over d t} = aI </math>

Adderer man de tre ligningene, ser man at den tidsderiverte av ''S + I + R&thinsp;'' er null som den skal være da denne summen skal forbli konstant under utbredelsen.

I modellen antas at de to parametrene ''a'' og ''b&thinsp;'' forblir konstant under epidemien.<ref name = Britten/> Dette er ofte urealistisk da spesielt smittefrekvensen kan forandres ved forskjellige tiltak mot spredning.

De  tre vekstligningene er alle første ordens [[differensialligning]]er og kan behandles ved standard metoder. Spesielt lar de seg løse med ønsket nøyaktighet ved  bruk av [[numerisk analyse|numeriske metoder]].<ref name = Kreyszig>E. Kreyszig, ''Advanced Engineering Mathematics'', John Wiley & Sons, New York (1083). ISBN 0-471-88941-5.</ref>