Redigerer Pol og polare (avsnitt)

==Definisjon==
[[Fil:Pol aussen.svg|thumb|270px|Polaren <span style="color:red;"> p </span> til punktet <span style="color:red;"> P </span> når dette er utenfor sirkelen.]]
[[Fil:Pol innen.svg|thumb|270px|For et punkt <span style="color:red;"> P </span> innenfor sirkelen er polaren <span style="color:red;"> p </span> gitt ved skjæringspunktene mellom tangentene til sirkelen der linjer gjennom <span style="color:red;"> P </span> skjærer den.]]

De fire [[kjeglesnitt]]ene [[sirkel]], [[ellipse]], [[hyperbel]] og [[parabel]] er alle forbundet med hverandre ved at de kan betraktes som forskjellige [[projeksjon]]er av den samme sirkel. Geometriske egenskaper som omhandler tangenter og skjæringspunkt av sekanter til disse kurvene vil derfor gjelde for alle tre så lenge som de ikke omhandler vinkler eller andre metriske egenskaper. Det betyr at når pol og polare beskrives relativt til en sirkel, vil dette også gjelde i forhold til de andre kjeglesnittene.<ref name = CR>  R. Courant and H. Robbins, ''What is Mathematics?'', Oxford University Press,  New York (1996). ISBN 978-0-19-510519-3.</ref>

Lar man en linje fra et punkt ''P'' utenfor en sirkel skjære denne i to punkt ''A'' og ''B''. Et punkt ''S'' på [[korde]]n ''AB'' bestemmes slik at det deler dette linjestykket [[harmonisk deling|harmonisk]] sammen med punktet ''P''. Det betyr at {{nowrap|''AS''/''BS'' {{=}} ''AP''/''BP''}} når man ser bort fra fortegn på linjestykkene. For forskjellige valg av linjen gjennom ''P'' vil de resulterende punktene ''S'' ligge på en ny linje som er polaren til punktet ''P''. På samme måte kan polen til en linje som skjærer sirkelen, finnes. Den vil da ligge utenfor sirkelen.

Polaren til et punkt ''P'' som ligger innenfor sirkelen, finnes også ved å trekke sekanter gjennom punktet. Hver av dem vil skjære sirkelen i to punkt. Tangentene i to slike skjæringspunkt vil skjære hverandre i et nytt punkt utenfor sirkelen som man kan kalle ''R''. Likedan vil en annen sekant gi opphav til et annet skjæringspunkt utenfor sirkelen mellom de tilsvarende tangentene. Kalles dette for ''Q'', vil linjen ''QR'' være polaren til det opprinnelige punktet ''P''.  

Hver linje mellom et vilkårlig punkt ''S'' på polaren og som går gjennom det gitte punktet ''P'' innenfor sirkelen, vil skjære sirkelen i to punkt ''A'' og ''B''. De to punktene ''S'' og ''P'' deler dermed korden ''AB'' igjen harmonisk slik at {{nowrap|''AS''/''BS'' {{=}} ''AP''/''BP''}} når man ser bort fra retningene til disse linjestykkene.<ref name = Pedoe> D. Pedoe, ''Geometry: A Comprehensive Course'', Dover Publications, New York (2013). ISBN  1-306-340551.</ref>

Ved lignende bruk av sekanter og tangenter kan pol og polare for andre kjeglesnitt også finnes. For sirkelen har man den alternative fremgangsmåten som følger direkte fra [[harmonisk deling]]. Gjennom et vilkårlig punkt ''S'' trekkes en linje gjennom sirkelens sentrum som skjærer den i to punkt ''A'' og ''B''. På denne linjen bestemmes et punkt ''T'' som sammen med ''S'' deler linjestykket ''AB'' harmonisk. En linje [[vinkelrett]] på linjen gjennom ''T'' er da polaren til ''S'', mens en ny linje som står vinkelrett på linjen gjennom ''A'' og ''B'' i punktet ''S'',  er polaren til ''T''.

===Generelle egenskaper===

I forhold til hvert av kjeglesnittene vil pol og polare ha generelle egenskaper som kan oppsummeres i følgende liste. De er en konsekvens av den geometriske definisjonen eller kan utledes fra en analytisk betraktning.<ref name = Runeberg> Projekt Runeberg, [https://runeberg.org/salmonsen/2/19/0308.html ''Pol''], Salmonsens konservationsleksikon (1915-1930).</ref>

* Hver linje har nøyaktig en pol og hvert punkt en polare.
* Når et punkt ligger på kjeglesnittet, vil dets polare være tangent til kjeglesnittet i dette punktet.
* Hvis et punkt ligger på sin egen polare, vil det også ligge på kjeglesnittet.
* Hvis man fra et punkt kan trekke to tangenter til kjeglesnittet, vil polaren til punktet gå gjennom begge tangeringspunktene.
* Når et punkt ''P&thinsp;'' ligger på en linje &ell;, da vil polen ''L&thinsp;'' til &ell; ligge på polaren ''p'' til ''P''.
* Når et punkt  ''P&thinsp;'' beveger seg langs en linje &ell;, vil dets polare ''p'' rotere om polen ''L&thinsp;'' til linjen &ell;.