Redigerer Plan (matematikk) (avsnitt)

== Formell definisjon ==
Det eksisterer flere ulike alternative og likeverdige måter å beskrive et plan i det tre-dimensjonale euklidske rommet på matematisk.   For eksempel kan et plan defineres som samlingen av punkt (''x'',''y'',''z'') som oppfyller ligningen<ref name = TL-2>R. Tambs-Lyche, ''Matematisk Analyse, Bind II'', Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1961).</ref>

:<math>ax + by + cz = d. \, </math>

Her representerer ''a'', ''b'', ''c'' og ''d'' konstanter.  Vektoren '''n''' = (''a,b,c'') er en [[normal (geometri)|normal]] til planet. Denne ligningen kan lett skrives om som
{{nowrap|''a''(''x'' - ''x''<sub>0</sub>) + ''b''(''y'' - ''y''<sub>0</sub>) + ''c''(''z'' - ''z''<sub>0</sub>) {{=}} 0}} der [[Vektor (matematikk)|vektoren]] {{nowrap|'''r'''<sub>0</sub> {{=}} (''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>,''z''<sub>0</sub>)}} angir et bestemt punkt i planet. Ekvivalent kan man skrive

:<math>\mathbf{n} \cdot (\mathbf{r} -\mathbf{r}_0) = 0 \, </math>

der '''r''' = (''x'',''y'',''z'') angir et vilkårlig punkt i planet.

Alternativt kan planet defineres ved [[parameterfremstilling|parameterforma]]

:<math>\mathbf{r}(u,v) = \mathbf{r}_0 + u \mathbf{r}_1 + v \mathbf{r}_2 \, </math>

Parametrene ''u'' og ''v'' er vilkårlige reelle tall. Vektorene  '''r'''<sub>1</sub> og  '''r'''<sub>2</sub> er antatt å være [[lineær uavhengighet|lineært uavhengige]].  Planet sies å være ''utspent'' av de to vektorene.

Et plan er generelt entydig bestemt dersom en kjenner tre punkt i planet som ikke ligger på en rett [[linje]].  En ligningen for planet er da gitt ved [[determinant]]ligningen

:<math>\begin{vmatrix} 
x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\
x - x_2 & y - y_2 & z - z_2 \\
x - x_3 & y - y_3 & z - z_3 
\end{vmatrix} = 0. </math>

To plan som ikke er parallelle, vil skjære hverandre langs en rett [[linje]]. Vinkelen mellom planet kalles den [[dihedral vinkel|dihedrale vinkelen]] og er bestemt ved de to normalene '''n'''<sub>1</sub> og '''n'''<sub>2</sub> til planene.