Redigerer Optisk teorem (avsnitt)

==Utledning==

Den innkommende strålingen har en gitt retning og en bestemt energi. Man kan definere denne retningen som ''z''-aksen i et [[kartesisk koordinatsystem]] (''x,y,z'')  og beskrive den som en [[Bølge#Plane bølger|plan bølge]] ''e''<sup>''ikz''</sup>&thinsp; med et visst bølgetall ''k''. Bølgen vekselvirker med sprederen og forlater denne som en utgående [[Helmholtz-ligning#Kulebølger|kulebølge]] ''e''<sup>''ikr''</sup>/''r''. Når denne har amplituden ''f''&thinsp;(''&theta;&thinsp;'') i retningen ''&theta;&thinsp;'' fra ''z''-aksen,  er hele spredningsprosessen gitt ved bølgefunksjonen

: <math> \psi(\mathbf{r}) =  e^{ikz}  + f(\theta) {e^{ikr}\over r} </math>

Spredningsamplituden ''f''&thinsp;(''&theta;&thinsp;'') har derfor samme dimensjon som en lengde. For små spredningsvinkler kan man benytte tilnærmingen

: <math> r = \sqrt{x^2+y^2+z^2} = z + \frac{x^2+y^2}{2z} + \cdots  </math>

Intensiteten er gitt ved [[Absoluttverdi#Absoluttverdien av komplekse tall|absoluttkvadratet]] <math> |\psi|^2 </math> og blir med samme nøyaktighet 

:<math>\begin{align} \psi^*\psi &= \left|e^{ikz}+\frac{f(\theta)}{z}e^{ikz}e^{ik(x^2+y^2)/2z}\right|^2 \\
             &= 1 + \frac{f(\theta)}{z}e^{ik(x^2+y^2)/2z} + \frac{f^*(\theta)}{z}e^{-ik(x^2+y^2)/2z}  
\end{align}</math>

når man dropper termen som avtar som 1/''z''<sup>2</sup>. Summen av de to siste leddene er gitt ved deres reelle verdi.<ref name = Abers> E.S. Abers, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education, New Jersey (2004). ISBN 0-13-146100-1.</ref>

For å beregne hvor mye av strålingen som går i fremoverretning ''&theta;'' = 0, tenker man seg et lite plan med areal ''A'' vinkelrett på ''z''-aksen og  rett bak sprederen. I integralet kan man da sette <math>f(\theta)=f(0)</math>  og samtidig anta at ''A'' er stor nok til at integrasjonen kan utvides til ''x'',''y'' &rarr; &plusmn; &infin;. Dermed står man igjen med det doble integralet

:<math> \int\int\,dx\,dy\,\psi^*\psi =  A + {2\over z} \text{Re} \left[ f(0)\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx^2/2z}dx\int_{-\infty}^{\infty} e^{iky^2/2z}dy\right] </math>

Det er det samme som opptrer i [[Huygens-Fresnels prinsipp|Huygens-Fresnel diffraksjonsteori]] og er gitt ved det bestemte integralet

: <math> \int_{-\infty}^\infty\!dt\, e^{iat^2} = \sqrt{i\pi\over a} </math>

På denne måten kommer man frem til

:<math> \int\int\,dx\,dy\,\psi^*\psi =  A + {4\pi\over k}\text{Re}[if(0)]  = A - {4\pi\over k}\text{Im} f(0)  </math>

hvor den siste termen representerer den reduserte strålingen i fremover-retning. Den har samme dimensjon som et areal og er per definisjon det totale spredningstverrsnittet ''&sigma;<sub>T</sub>&thinsp;'' 

: <math> \sigma_T = {4\pi\over k}\text{Im} f(0) </math> 

for prosessen. Dette resultatet representerer den matematiske formuleringen av det optiske teoremet.<ref name = Newton/>

===Unitaritet===
Mest generelt kan spredningsprosesser beskrives i [[kvantefeltteori]] ved bruk av [[S-operator]]en. Den forbinder en viss tilstand av innkommende partikler  med en annen tilstand med utgående partikler. Den kvantemekaniske sannsynlighetsamplituden for overgangen mellom disse to tilstandene er gitt ved [[matrise]]elementet av ''S''-operatoren mellom disse to tilstandene. Tilsammen utgjør alle elementene «S-matrisen». 

Summerer man sannsynligheten over alle mulige sluttilstander, må dette ganske enkelt gi én fordi noe er garantert å skje ved en slik vekselvirkning. For ''S''-operatoren betyr det at

: <math> S^\dagger S = 1 </math>

hvor <math> S^\dagger </math> betegner den ''hermitisk adjungerte'' operatoren. Det tilsvarer den [[Matrise#Konjungert transponering|konjugert-transponerte]] matrisen. Dette kravet til ''S''-operatoren omtales som «unitaritet» og gjelder for all fundamental fysikk.<ref name = PS> M.E. Peskin and D.V. Schroeder, ''Quantum Field Theory'', Addison-Wesley, Massachusetts (1995). ISBN 0-201-50397-2.</ref>

For å kunne benytte ''S''-operatoren til praktiske beregninger, skrives den som

: <math> S = 1 + iT </math>

hvor operatoren ''T'' omtales som en ''overgangsoperator'' og inneholder selve spredningsamplituden. Unitariteten til ''S''-operatoren betyr nå at denne alternative operatoren må oppfylle kravet

: <math> T - T^\dagger = i T^\dagger T </math>

Hvis man nå tar et diagonalt matriseelement av denne relasjonen for en viss tilstand, vil venstresiden kunne uttrykkes ved den imaginære spredningsampliituden for fremover-spredning av partiklene i denne tilstanden. Samtidig kan man innsette et fullstendig sett med tilstander mellom de to operatorene på høyresiden som dermed kan uttrykkes ved det totale virkninggstverrsnittet. Dermed står man igjen med en generell formulering av det optiske teoremet som kan føres tilbake til [[Heisenberg]].<ref name = Newton/>