Redigerer
Konform avbilding
(avsnitt)
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
==Matematisk beskrivelse== For en ''N''-dimensjonal [[mangfoldighet]] ''Σ'' med [[metrisk tensor]] ''g<sub>μν</sub>'' og koordinater ''u<sup>μ</sup>'' kan man skrive det kvadrerte [[Metrisk tensor#Riemannske rom|linjeelementet]] som : <math> d\sigma^2 = g_{\mu\nu}du^\mu du^\nu </math> Her benyttes [[Einsteins summekonvensjon]] hvor man summer fra 1 til ''N'' over alle par med like indekser. Denne mangfoldigheten skal nå avbildes på en annen ''Σ' '' med samme dimensjon.<ref name = TL-2>R. Tambs Lyche, ''Matematisk Analyse'' II, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1961).</ref> For enkelhets skyld kan man anta at dette er et [[euklidsk rom]] med koordinater ''x<sup>α</sup>'' og metrikk som kan settes lik med [[Kronecker-delta]]et ''δ<sub>αβ</sub>''. Hvis denne avbildningen er konform, må det da finnes ''N'' [[derivasjon|deriverbare]] funksjoner ''u<sup>μ</sup>''(''x'') mellom koordinatene på disse to mangfoldighetene slik at man har : <math> d\sigma^2 = k^2(x)\delta_{\alpha\beta}dx^\alpha dx^\beta </math> der ''k''(''x'') er en skalafaktor. Her er ''ds''<sup> 2</sup> = ''δ<sub>αβ</sub>'' ''dx<sup>α</sup> dx<sup>β</sup>'' = (''dx''<sup>1</sup>)<sup>2</sup> + (''dx''<sup> 2</sup>)<sup>2</sup> + ... + (''dx''<sup>''N''</sup>)<sup> 2</sup> det kvadrerte linjeelement på den euklidske mangfoldigheten ''Σ' ''. En [[vektor (matematikk)|vektor]] med komponenter ''A<sup>μ</sup>'' på mangfoldigheten ''Σ'' vil avbildes på ''Σ' '' med komponenter ''A'<sup> μ</sup>''. De er forbundet ved ligningene : <math> A^\mu = {\partial u^\mu\over\partial x^\alpha}A'^{\alpha} </math> som følger fra transformasjonen mellom disse to [[koordinatsystem]]ene. [[Indreprodukt]]et mellom to slike vektorer blir dermed : <math> \begin{align} \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} &= g_{\mu\nu}A^\mu B^\nu = g_{\mu\nu}{\partial u^\mu\over\partial x^\alpha}{\partial u^\nu\over\partial x^\beta}A'^{\alpha}B'^{\beta}\\ &= k^2(x)\delta_{\alpha\beta}A'^{\alpha}B'^{\beta} = k^2(x) \mathbf{A'}\cdot\mathbf{B'} \end{align}</math> Indreproduktene mellom vektorene kan uttrykkes ved deres lengder ''A'' og ''B'' og vinkelen ''θ'' mellom dem som {{nowrap|'''A'''⋅'''B''' {{=}} ''AB'' cos''θ''}}. Da skalafaktoren ''k''(''x'') også opptrer mellom lengden ''A'' og ''A' '' før og etter transformasjonen, må cos''θ'' = cos''θ' ''. Avbildningen forandrer derfor ikke vinkelen mellom de to vektorene slik at den er konform.<ref name = Blair> D.E. Blair, ''Inversion Theory and Conformal Mapping'', Student Mathematical Library. No. 9, AMS (2000).</ref> Det samme gjelder for vinkelen mellom to [[kurve]]r som skjærer hverandre. Vinkelen mellom dem er da definert som vinkelen mellom deres [[tangent (matematikk)|tangentvektorer]] i skjæringspunktet. Denne vil på samme måte forbli uforandret ved en slik konform transformasjon. ===Eksempel: Sirkelinversjon=== Kanskje det eldste og mens kjente eksempel på en konform avbildning er [[sirkelinversjon|inversjon]] i en sirkel.<ref name = CG> H.S.M. Coxeter and S.L. Greitzer, ''Geometry Revisited'', Mathematical Association of America, Washington, DC (1967). ISBN 0-8838-5619-0.</ref> Den befinner seg i et todimensjonalt plan, og man kan her sette dens radius {{nowrap|''R'' {{=}} 1}}. Hvert punkt '''r''' med koordinater (''x,y'') blir transformert til det inverse punktet {{nowrap|'''r''' → '''r'''/''r''<sup> 2</sup>}} med koordinater (''u,v'') hvor : <math> \begin{align}x &\rightarrow u = {x\over x^2 + y^2} \\ y &\rightarrow v = {y\over x^2 + y^2} \end{align} </math> Det transformerte linjeelementet er ''dσ''<sup> 2</sup> = ''du''<sup> 2</sup> + ''dv''<sup> 2</sup> hvor de to [[differensial (matematikk)|differensialene]] blir : <math> \begin{align} du &= {x^2 - y^2\over (x^2 + y^2)^2} dx - {2xy\over (x^2 + y^2)^2} dy \\ dv &= {y^2 - x^2\over (x^2 + y^2)^2} dy - {2xy\over (x^2 + y^2)^2} dx \end{align} </math> Dermed er : <math> d\sigma^2 = {dx^2 + dy^2\over (x^2 + y^2)^2} </math> slik at transformasjonen er konform. Den er derfor vinkelbevarende som man også kan bevise med rent geometriske metoder.<ref name = CG/> Inversjon kan vises på samme måte å være konform når den foretas mellom to euklidske rom med dimensjon ''N'' > 2. Et geometrisk bevis er ikke enkelt i dette generelle tilfellet.<ref name = Blair/>
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon