Redigerer Kirchhoffs diffraksjonsteori (avsnitt)

==Matematisk bakgrunn==

En [[skalar]] [[bølge]] ''u''('''r''',''t''&thinsp;) beskrives matematisk ved den vanlige [[bølgeligning]]en. Når den er [[bølge#Harmonisk bølge| harmonisk]], har den en gitt [[vinkelfrekvens]] ''&omega;'' og kan representeres som en [[komplekst tall|kompleks]] [[fasevektor]]

: <math> u(\mathbf{r},t) = U(\mathbf{r})e^{-i\omega t} </math>

Bortsett fra den periodiske variasjonen med tiden ''t'', er bølgens egenskaper dermed gitt som løsning av [[Helmholtz-ligning]]en

: <math> (\nabla^2 + k^2) U(\mathbf{r}) = 0 </math>

der [[bølge#Harmonisk bølge|bølgetallet]] ''k'' = ''&omega;''/''c'' = 2''&pi;''&thinsp;/''&lambda;'' når ''c'' er utbredelseshastigheten til bølgen og ''&lambda;'' dens [[bølgelengde]].<ref name = BW> M. Born and E. Wolf, ''Principles of Optics'',  Pergamon Press, London (1965).</ref> 

[[Diffraksjon]] av lys eller andre bølger oppstår når den frie utbredelsen blir forhindret av begrensende [[flate]]r. I den mest typiske situasjonen tenker man seg at lyset beveger seg mot en flat skjerm som stopper dets utbredelse bortsett fra gjennom en eller flere åpninger. Disse blir ofte kalt for [[apertur]]er. Tenker man seg at lyset kommer inn fra venstre mot en slik skjerm, vil man i området bak skjermen være interessert i å bestemme den komplekse bølgeamplituden ''U''('''r'''). Den generelle løsningen kan finnes ved samme fremgangsmåte med bruk av [[Greens funksjon]] ''G''('''r''', '''r'''') som benyttes ved løsningen av den [[Helmholtz-ligning#Inhomogen Helmholtz-ligning|inhomogene Helmholtz-ligningen]]. Man tenker seg derfor en lukket flate som består av skjermen pluss en del ''C'' av en stor kuleflate som omslutter et endelig volum ''V'' på høyre side av skjermen. Da det her ikke er noen lyskilder, vil amplituden i et punkt '''r'''<sub>0</sub> i dette volumet dermed kunne skrives som

: <math> U(\mathbf{r}_0) = \int_{\partial V}\!dS [ U(\mathbf{r})(\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\nabla})G(\mathbf{r}, \mathbf{r}_0) - G(\mathbf{r}, \mathbf{r}_0)(\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\nabla})U(\mathbf{r})] </math>

hvor [[vektor (matematikk)|enhetsvektoren]] '''n''' er normal på flaten og peker inn i volumet. Her består volumets totale overflate ''&part;V'' av delen ''C'' som kan tenkes å ligge i det fjerne, pluss skjermen som igjen består av aperturene ''A'' og en ugjennomtrengelig del ''B''. 

Dette generelle uttrykket for bølgeamplituden er eksakt i denne skalare teorien. Men det gir ingen eksplisitt løsning da man må kjenne den samme amplituden på overflaten ''&part;V'' samt Green-funksjonen ''G''('''r''', '''r'''<sub>0</sub>) i det aktuelle volumet.

===Antagelser===

Man antar at lyset som opptrer her, kommer inn fra en punktkilde i '''r''' = 0 til venstre for skjermen. Denne kilden gir da en [[bølge#Sfæriske bølger|kulebølge]] av formen {{nowrap|''U''('''r''') {{=}} ''Ce''<sup>''ikr''</sup>/''r''&thinsp;}} i en avstand ''r'' = |'''r'''| fra kilden og konstanten ''C'' angir dens styrke. Den første antagelsen i Kirchhoff-teorien er at denne innkommende bølgen opptrer  uforstyrret i åpningene ''A'' og er null på resten ''B'' av skjermen. Det samme gjelder for [[gradient]]en '''&nabla;'''''U'' i overflateintegralet for ''U''('''r'''<sub>0</sub>). 

Den andre antagelsen er at Green-funksjonen tilsvarer en fiktiv punktkilde i '''r'''<sub>0</sub> slik at den har formen

: <math> G(\mathbf{r}, \mathbf{r}_0) = {e^{ik|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0|}\over 4\pi|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0|} </math>

som bare avhenger av avstanden ''s'' = |'''s'''| med '''s''' = '''r'''<sub>0</sub> -  '''r'''. På den måten knyttes løsningen av Helmholtz-ligningen direkte til Huygens-Fresnels prinsipp.<ref name =BW/> 

Bidraget til integralet fra delen ''C'' av kuleflaten kan vises å være neglisjerbart når dets radius ''R'' går mot uendelig.<ref name = Stone> J.M. Stone, ''Radiation and Optics'', McGraw-Hill, New York (1963).</ref> Med disse antagelsene får integralet dermed bare et bidrag fra aperturene ''A''. I det resterende overflateintegralet vil man der behøve gradientene

: <math> \boldsymbol{\nabla}U(\mathbf{r}) = C{e^{ikr}\over r}\hat{\mathbf{r}}\Big(ik - {1\over r}\Big) </math>

og 

: <math> \boldsymbol{\nabla}G(\mathbf{r}, \mathbf{r}_0) = - {e^{iks}\over 4\pi s}\hat{\mathbf{s}}\Big(ik - {1\over s}\Big) </math>

Her er <math> \hat{\mathbf{r}} </math> = '''r'''/''r'' en enhetsvektor i retning '''r''' og <math> \hat{\mathbf{s}} </math> = '''s'''/''s'' en tilsvarende enhetsvektor i retning '''s'''.

===Huygens-Fresnels formel===

Da bølgetallet ''k'' = 2''&pi;''&thinsp;/''&lambda;'', forenkles uttrykkene for gradientene når man antar at både lyskilden og observasjonspunktet '''r'''<sub>0</sub> ligger mange bølgelengder vekk fra skjermen slik at {{nowrap|''k'' >> 1/''r'', 1/''s''}}. På den måten fremkommer det generelle uttrykket for det avbøydde lyset i Kirchhoffs diffraksjonsteori som

: <math> U(\mathbf{r}_0) =  {C\over 2i\lambda} \int_A\!dS (\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{r}}+ \mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{s}}){e^{ik(r + s)}\over rs}</math>

Man ser at det er symmetrisk mellom kildepunkt og observasjonspunkt. 

I de fleste praktiske situasjoner ligger kildepunktet langt ut til venstre for skjermen. Avstanden ''r'' mellom dem er da stor og tilnærmet konstant over aperturen ''A''. Bølgefronten til den innkommende kulebølgen i denne åpningen kan dermed antas å være konstant med amplitude {{nowrap|''U''<sub>0</sub> {{=}} ''Ce''<sup>''ikr''</sup>/''r''&thinsp;}}. For det enkleste tilfellet at den treffer aperturen vinkelrett, er da i tillegg <math>\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{r}} = 1</math> slik at den avbøydde bølgen får amplituden

: <math> U(\mathbf{r}_0) =  {U_0\over 2i\lambda} \int_A\!dS (1 + \cos\chi){e^{iks}\over s}</math>

hvor cos&thinsp;''&chi;'' = <math>\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{s}}</math>. Dette er standardutrykket for [[Huygens-Fresnels prinsipp]]. Bortsett fra retningsfaktoren (1 +  cos''&chi;'')/2,  har dette samme form som [[Augustin Jean Fresnel|Fresnel]] opprinnelig foreslo.<ref name = Hecht> E. Hecht, ''Optics'', Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (1998). ISBN 0-201-30425-2.</ref>