Redigerer Kalmanfilter (avsnitt)

==Implementasjon==
Formelt sett er Kalmanfilteret en rekursiv tilstandsestimator til en prosess som er forutsatt påvirket av [[Stokastisk|stokastiske]] (tilfeldige) forstyrrelser og av stokastisk (tilfeldig) støy (herunder [[hvit støy]] ([[Normalfordeling|normalfordelt]])). Det finnes flere varianter av Kalmanfilteret (utvided Kalmanfilter, EKF, UKF og flere), men i utledningene under brukes den opprinnelige versjonen utviklet av [[Rudolf E. Kálmán|Rudolf (Rudy) E. Kálmán]] som er beregnet for bruk på [[Lineær|lineære]] systemer.

[[Algoritme|Algoritmen]] blir gjennomført i to steg som kjøres om hverandre i en løkke. Det første steget produserer tilstandsestimater ut i fra nåværende tilstand og observasjoner som ble gjort. Deretter blir disse korrigert ved hjelp av en [[kovarians]]rest som blir beregnet og oppdatert ved hver [[iterasjon]] ved hjelp av målingene som blir gjort.

Følgende forkortelser brukes i formlene:
* <math>\hat{x}_{k\mid k-1}</math> beskriver tilstandsestimatet ved tidssteget ''k'' før den ''k''-ende målingen blir gjennomført, gitt at en kjenner tilstandsestimater ved tidssteget k-1. 
* <math>P_{k\mid k-1}</math> er den tilhørende usikkerheten i modellen, gitt at en kjenner usikkerheten ved tidssteget k-1. 
* '''F'''<sub>''k''</sub> er tilstandsovergangmodellen; 
* '''H'''<sub>''k''</sub>, er målingsmodellen; 
* '''Q'''<sub>''k''</sub>, er kovariansen av prosesstøy; 
* '''R'''<sub>''k''</sub>, er kovariansen av målestøy og 
* '''B'''<sub>''k''</sub> er pådraget. 
* z<small>k</small> =?
Disse kan variere over tid eller være konstante.

=== Prediksjon ===
{|
|-
| width="50%" | Anslått (''a priori'') tilstandsestimat ved tidssteget ''k'' 
| <math>\hat{\textbf{x}}_{k\mid k-1} = \textbf{F}_{k}\hat{\textbf{x}}_{k-1\mid k-1} + \textbf{B}_{k} \textbf{u}_{k}  </math>
|-
| Predikerte (''a priori'') anslått kovarians ved tidssteget ''k'' 
| <math>\textbf{P}_{k\mid k-1} =  \textbf{F}_{k} \textbf{P}_{k-1\mid k-1} \textbf{F}_{k}^{\text{T}} + \textbf{Q}_{k} </math>
|}

=== Korrigeringer ===
{|
|-
| width="60%" | Innovasjonssteget
| <math>
\tilde{\textbf{y}}_k = \textbf{z}_k - \textbf{H}_k\hat{\textbf{x}}_{k\mid k-1}
</math>
|-
| Rest-kovarians
| <math>\textbf{S}_k = \textbf{H}_k \textbf{P}_{k\mid k-1} \textbf{H}_k^\text{T} + \textbf{R}_k </math>
|-
| ''Optimal'' Kalman forsterkning
| <math>\textbf{K}_k = \textbf{P}_{k\mid k-1}\textbf{H}_k^\text{T}\textbf{S}_k^{-1}</math>
|-
| Korrigerte (''a posteriori'') tilstandsestimat
| <math>\hat{\textbf{x}}_{k\mid k} = \hat{\textbf{x}}_{k\mid k-1} + \textbf{K}_k\tilde{\textbf{y}}_k</math>
|-
| Korrigerte (''a posteriori'') kovariansestimat
| <math>\textbf{P}_{k|k} = (I - \textbf{K}_k \textbf{H}_k) \textbf{P}_{k|k-1}</math>
|}