Redigerer Hamilton-operator (avsnitt)

==Tidsutvikling og energi==

Et fysisk system beskrives i [[kvantemekanikk]]en ved en tilstandsfunksjon &Psi;(''t&thinsp;'') som avhenger av tiden ''t&thinsp;'' samt de dynamiske variable som benyttes. Istedenfor [[Newtons bevegelseslover]] i [[klassisk mekanikk]] styres systemet kvantemekanisk av [[Schrödinger-ligning|Schrödingers bevegelsesligning]]

: <math> i\hbar{\partial\over\partial t} \Psi(t) = \hat{H} \Psi(t) </math>

hvor <math> \hat{H} </math>  er dets Hamilton-operator. Her er {{nowrap|''ħ'' {{=}} ''h''/2''&pi;&thinsp;''}} den reduserte [[Plancks konstant|Planck-konstanten]] og ''i'' = &radic;-1 er den [[imaginær enhet|imaginære enheten]].<ref name= Griffiths> D.J. Griffiths, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education International, Essex (2005). ISBN  1-292-02408-9.</ref>

Når Hamilton-operatoren er uavhengig av tiden, vil den ha [[Egenvektor|egentilstander]] definert ved <math> \hat{H} \psi_E = E \psi_E </math> hvor ''E&thinsp;'' er den tilsvarende egenverdien. En slik tilstand vil derfor forandre seg med tiden som

: <math> \psi_E (t) =  \psi_E \,e^{-iEt/\hbar} </math>

Dette representerer en harmonisk [[svingning]] med [[vinkelfrekvens]] ''&omega;'' = ''E''/''ħ''. Denne sammenhengen mellom energi og frekvens kan føres helt tilbake til starten av kvantemekanikken i 1900 da [[Max Planck]] lanserte sin [[Plancks strålingslov|strålingsformel]].

I dette tilfellet med en tidsuavhengig Hamilton-operator vil en vilkårlig tilstand &Psi;(''t&thinsp;'') utvikle seg med tiden ifølge

: <math> \Psi(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar} \Psi(0) </math>

Denne variasjonen med tiden kan nå eksplisitt beregnes ved å uttrykke begynnelsestilstanden &Psi;(0&thinsp;) som en [[Schrödinger-ligning#Superposisjon|superposisjon]] av egentilstander ''&psi;<sub>E</sub>&thinsp;'' som hver oscillerer i tiden rent harmonisk.