Redigerer Feynmans veiintegral (avsnitt)

==Bakgrunn==

Som [[doktorgrad]]student ved [[Princeton University]]  arbeidet Feynman sammen med sin veileder [[John Wheeler]] med en teori for [[Elektrodynamikk|klassisk elektrodynamikk]] som ikke skulle inneholde frie, [[Elektromagnetisk felt|elektromagnetiske felt]]. Den hadde ingen anvendelig [[Hamilton-mekanikk|Hamilton-funksjon]] slik at den ikke kunne [[Kvantisering (fysikk)||kvantiseres]] ved bruk av en [[Hamilton-operator]] som [[Erwin Schrödinger|Schrödinger]] og [[Werner Heisenberg|Heisenberg]] hadde vist. Ved et nesten tilfeldig møte i 1941 med [[Herbert Jehle]] som hadde flyktet fra Europa, fikk Feynman vite om et tidligere arbeid av [[Paul Dirac]] hvor en kvantemekanisk overgangsamplitude kunne uttrykkes ved [[Lagrange-mekanikk|Lagrange-funksjonen]] til systemet. Etter at han hadde lest denne artikkelen, forstod han hvordan amplituden til Dirac kunne generaliseres og danne utgangspunkt for en helt ny formulering av kvantemekanikken.<ref name = Schweber> S.S. Schweber, ''Feynman’s visualization of space-time processes'', Rev. Mod. Phys. '''58''' (2), 449-508 (1986). [http://rpdata.caltech.edu/courses/aph105c/2006/articles/Schweber1986.pdf PDF].</ref>

===Diracs amplitude===

Ved bruk av vanlig [[kvantemekanikk]] hadde Dirac i 1931 studert sannsynlighetsamplituden for at en partikkel som befinner seg i et visst punkt ved tiden ''t<sub>a</sub>'', vil bli observert i et annet punkt ved et senere tidspunkt ''t<sub>b</sub>''. For enkelhets skyld kan man anta at den bare kan bevege seg i én dimensjon med koordinaten ''q''. Amplituden er da 

: <math> \langle q_b,t_b | q_a, t_a\rangle =  \langle q_b |e^{-i\hat{H}(t_b - t_a)/\hbar}| q_a \rangle </math>

hvor <math> \hat{H} </math> er [[Hamilton-operator]]en til partikkelen. Hvis den har masse ''m&thinsp;'' og beveger seg med [[potensiell energi]] ''V''(''q''), er denne operatoren

: <math> \hat{H} = {\hat{p}^2\over 2m}  + V(\hat{q}) </math>

der det første leddet representerer den [[kinetisk energi|kinetiske energien]] uttrykt ved impulsoperatoren <math> \hat{p}. </math> 

For vilkårlige tidspunkt  ''t<sub>b</sub>'' > ''t<sub>a</sub>'' kan denne overgangsamplituden ikke uten videre regnes ut for et generelt potensial. Mye av grunnen for dette er at de to termene i Hamilton-operatoren ikke kommuterer med hverandre. Men når tidsforskjellen {{nowrap|''&epsilon;'' {{=}} ''t<sub>b</sub>'' -  ''t<sub>a</sub>&thinsp;''}} blir svært liten, kan man benytte at

: <math> e^{\varepsilon\hat{A} + \varepsilon\hat{B}} = e^{\varepsilon\hat{A}}e^{\varepsilon\hat{B}} </math>

når man ser bort fra ledd som er av orden ''&epsilon;''<sup>2</sup> eller høyere.<ref name = Shankar>  R. Shankar, ''Principles of Quantum Mechanics'', Plenum Press, New York (1982). ISBN 0-306-40397-8.</ref>  Da har man

: <math> \langle q', t + \varepsilon| q, t \rangle = \langle q'| e^{-i\varepsilon{\hat{p}}^2/2m\hbar}|q\rangle \, e^{-i\varepsilon V(q)/\hbar}  </math>

etter å ha benyttet at <math>\hat{q} |q\rangle = q|q\rangle .</math> Det gjenstående matriseelementet kan nå finnes ved å innsette et fullstendig sett med [[Kvantemekanikk#Impulsbasis|egentilstander for impulsoperatoren]],

: <math>\begin{align}  \langle q'| e^{-i\varepsilon{\hat{p}}^2/2m\hbar}|q\rangle &= \int_{-\infty}^\infty\! {dp\over 2\pi\hbar} \langle q'| e^{-i\varepsilon{\hat{p}}^2/2m\hbar}|p\rangle\langle p|q \rangle \\ &= \int_{-\infty}^\infty\! {dp\over 2\pi\hbar}e^{-i\varepsilon p^2/2m\hbar} e^{i(q' - q)p/\hbar} \end{align} </math>

Selv om integrasjonen over den klassiske impulsen her involverer komplekse størrelser, kan den likevel utføres som et vanlig [[Gauss-integral]]. Resultatet kan skrives som

: <math>\begin{align} \langle q', t + \varepsilon| q, t \rangle &= A\, e^{im(q' - q)^2/2\hbar\varepsilon - i\varepsilon V(q)/\hbar} \\ &= A e^{i\varepsilon L(q,\dot{q})/\hbar} \end{align}</math>

der 

: <math> A = \sqrt{m\over 2\pi i\hbar\varepsilon} </math>

og 

: <math> L(q,\dot{q}) = {m\over 2}\dot{q}^2 - V(q) </math>

er [[Lagrange-mekanikk|Lagrange-funksjonen]] til partikkelen hvor dens hastighet er gitt ved den tidsderiverrte <math> \dot{q} = (q' - q)/\varepsilon </math> når ''&epsilon;&thinsp;'' går mot null. I eksponenten opptrer <math> \varepsilon L(q) </math>  som er virkningen for den korte bevegelsen mellom de to nærliggende tidspunktene. Det var denne sammenhengen som Feynman ble klar over da han leste Diracs arbeid.<ref name = Dirac> P..A.M. Dirac, ''The Lagrangian in Quantum Mechanics'', Phys. Zeitschrift der Sowjetunion '''3''' (1), 64 - 72 (1932). Finnes i antologien ved J. Schwinger, ''Quantum Electrodynamics'', Dover Publications, New York (1958).</ref>