Redigerer Ekvipartisjonsprinsipp (avsnitt)

==Kvadratiske frihetsgrader==

Egenskapene til en samling av like partikler i [[termisk likevekt]] kan beregnes ved bruk av [[Boltzmann-fordeling|Boltzmanns sannsynlighetsfordeling]]. Den avhenger av energien til alle partiklene og deres felles temperatur ''T''. Når partiklene er [[molekyl]]er uten gjensidige vekselvirkninger, er deres  totale energi summen av den  [[Kinetisk energi| kinetiske energien]] til hver av dem. Avhengig av hvor komplisert et molekyl er, vil denne kunne bestå av [[Kinetisk energi#Translasjonsenergi|trranslasjonsenergi]], [[Kinetisk energi#Rotasjonsenergi|rotasjonsenergi]] og forskjellige [[Harmonisk oscillator|vibrasjonsenergier]]. Mens translasjonsenergien er proporsjonal med kvadratet av partikkelens [[hastighet]], er rotasjonsenergien proporsjonal med kvadratet av [[rotasjonshastighet]]en. På samme måte er en harmonisk [[svingning|vibrasjon]]. proporsjonal med kvadratet av partikkelens utslag fra likevektsposisjonen. Alle disse tre formene for bevegelsesenergi er derfor kvadratiske i sine karakteristiske variable. De kalles derfor for partikkelens «kvadratiske frihetsgrader».<ref name = Schroeder> D.V. Schroeder, ''An Introduction to Thermal Physics'', Addison Wesley Longman, San Fransisco, CA (2000). ISBN 0-201-38027-7.</ref>

Deres antall er bestemt av klassisk mekanikk. En [[vektor (matematikk)|vektoriell]] hastighet gir {{nowrap|'''v'''<sup>&thinsp;2</sup> {{=}} ''v<sub>x</sub>''<sup>&thinsp;2</sup> + ''v<sub>y</sub>''<sup>&thinsp;2</sup> + ''v<sub>z</sub>''<sup>&thinsp;2</sup>}}  som betyr at translasjonsenergien inneholder {{nowrap|''f'' {{=}} 3&thinsp;}} slike frihetsgrader. Et "diatomisk" molekyl består av to atomer og har ingen rotasjon om aksen som forbinder dem. Det har derfor {{nowrap|''f'' {{=}} 2&thinsp;}} frihetsgrader, mens {{nowrap|''f'' {{=}} 3&thinsp;}} for mer sammensatte molekyl med tre rotasjonsakser.

===Middelverdi===
Energien til én slik frihetsgrad ''x&thinsp;'' er av formen

: <math> E = ax^2 </math>

hvor ''a'' kan betraktes som konstant. [[Boltzmann-fordeling]]en sier nå at sannsynligheten for å finne partikkelen med denne energien er ''p'' = exp(-''&beta;E'')/''Z&thinsp;'' 
når man skriver {{nowrap|''&beta;'' {{=}} 1/''k<sub>B</sub>T'' }} der ''k<sub>B</sub>&thinsp;'' er [[Boltzmanns konstant]]. I tillegg er ''Z&thinsp;'' en normeringskonstant som kommer fra at alle disse sannsynlighetene må gi én når man adderer eller integrerer dem over alle mulige energier. Hvis derfor frihetsgraden ''x&thinsp;'' kan ta  både positive og negative, [[reelt tall|reelle]] verdier, er den bestemt ved [[Gauss-integral]]et

: <math>  Z = \int_{-\infty}^\infty\!dx\, e^{-\beta ax^2} = \sqrt{\pi\over \beta a} </math>

Den midlere verdien av den tilsvarende energien blir da

: <math>\begin{align} \langle ax^2 \rangle  &= {1\over Z} \int_{-\infty}^\infty\!dx\, ax^2 e^{-\beta ax^2}  =  {1\over Z} \left(-{\partial\over\partial\beta}\right) Z  \\ &=  -{\partial\over\partial\beta} \ln Z = {1\over 2\beta} =   {1\over 2} k_B T  \end{align} </math>

Resultatet er uavhengig av konstanten ''a''. Hvis hver partikkel har ''f&thinsp;'' slike kvadratiske frihetsgrader, vil ''N&thinsp;'' av dem dermed bidra med

: <math> U = {1\over 2} Nf k_B T </math>

til deres [[indre energi]]. Dette representerer det matematiske grunnlaget for partisjonsteoremet.<ref name = LHL> E. Lillestøl, O. Hunderi og J.R. Lien, ''Generell Fysikk, Bind 2'', Universitetsforlaget, Oslo (2001). ISBN 82-15-00006-1.</ref>