Redigerer Einstein-forhold (kinetisk teori) (avsnitt)

== Spesielle tilfeller ==

=== Elektrisk mobilitetsligning ===

For en partikkel med elektrisk ladning ''q'', dets elektriske mobilitet ''μ<sub>q</sub>'' er relatert til den generelle mobiliteten ''μ'' ved ligningen ''μ'' = ''μ<sub>q</sub>''/''q''. Parameteren ''μ<sub>q</sub>'' er forholdet mellom partikkelens terminaldrifthastighet og et påført elektrisk felt. Derfor blir ligningen i tilfelle av en ladet partikkel gitt som

: <math>D = \frac{\mu_q \, k_\text{B} T}{q},</math>

hvor

* <math>D</math> er diffusjonskoeffisienten (<math>\mathrm{m^2s^{-1}}</math>).
* <math>\mu_q</math> er den elektriske mobiliteten(<math>\mathrm{m^2V^{-1}s^{-1}}</math>).
* <math>q</math> er den elektriske ladningen til partikkel (C, [[coulomb]])
* <math>T</math> er elektrontemperaturen eller ionetemperaturen i [[Plasma (fysikk)|plasma]] (K).<ref>{{Cite book|title=Gas Discharge Physics|last=Raizer|first=Yuri|publisher=Springer|year=2001|isbn=978-3540194620|pages=20–28}}</ref>

Hvis temperaturen er gitt i [[Volt]], som er mer vanlig for plasma:

: <math>D = \frac{\mu_q \,  T}{Z},</math>

hvor

* <math>Z</math> er ladetallet på partikkelen (enhetsløs)
* <math>T</math> er elektrontemperatur eller ionetemperatur i plasma (V).

=== Stokes–Einstein ligning ===

I grensen for lavt [[Reynoldstall|Reynolds-tall]] er mobiliteten μ den omvendte av dragkoeffisienten<math>\zeta</math>. En dempende konstant<math>\gamma = \zeta / m</math> brukes ofte for den omvendte momentumavslappingstiden (tid som trengs for at treghetsmomentet blir ubetydelig sammenlignet med det tilfeldige momenta) til det diffusive objektet. For sfæriske partikler med radius ''r'', [[Stokes lov]] gir

: <math>\zeta = 6 \pi \, \eta \, r,</math>

hvor <math>\eta</math> er viskositeten til mediet. Dermed resulterer forholdet Einstein-Smoluchowski i forholdet Stokes-Einstein

: <math>D = \frac{k_\text{B} T}{6\pi\,\eta\,r}.</math>

Dette har blitt brukt i mange år for å estimere selvdiffusjonskoeffisienten i væsker, og en versjon i samsvar med isomorfteorien er bekreftet av datasimuleringer av Lennard-Jones-systemet.<ref>{{Cite journal|last1=Costigliola|journal=The Journal of Chemical Physics|issn=0021-9606|pmid=30646717|doi=10.1063/1.5080662|pages=021101|issue=2|volume=150|language=en|title=Revisiting the Stokes-Einstein relation without a hydrodynamic diameter|first1=Lorenzo|date=2019-01-14|first4=Jeppe C.|last4=Dyre|first3=Thomas B.|last3=Schrøder|first2=David M.|last2=Heyes|doi-access=free}}</ref> 

I tilfelle rotasjonsdiffusjon er friksjonen <math>\zeta_\text{r} = 8 \pi \eta r^3</math>, og rotasjonsdiffusjonskonstanten <math>D_\text{r}</math> er

: <math>D_\text{r} = \frac{k_\text{B} T}{8\pi\,\eta\,r^3}.</math>

=== Halvleder ===
I en [[halvleder]] med en vilkårlig [[tilstandstetthet]], dvs. et forhold mellom formen <math>p = p(\varphi)</math> mellom tettheten til hull eller elektroner <math>p</math> og tilsvarende kvasi Fermi-nivå (eller [[elektrokjemisk potensial]]) <math>\varphi</math>, Einstein-forholdet er<ref>{{cite book|author1=Ashcroft, N. W.|author2=Mermin, N. D.|title=Solid State Physics|pages=826|year=1988|publisher=Holt, Rineheart and Winston|place=New York (USA)}}</ref><ref>{{cite book|author=Bonnaud, Olivier|title=Composants à semiconducteurs|pages=78|year=2006|publisher=Ellipses|place=Paris (France)|language=fr}}</ref>

: <math>D = \frac{\mu_q p}{q \frac{dp}{d\varphi}},</math>

hvor <math>\mu_q</math> er den [[Elektrisk mobilitet|elektriske mobiliteten]]. Et eksempel som antar en parabolsk dispersjonsforhold for tilstandstettheten og [[Maxwell-Boltzmanns fordelingslov|Maxwell-Boltzmann-statistikken]], som ofte brukes til å beskrive uorganiske halvledermaterialer, kan man beregne (se tilstandstetthet):

: <math>p(\varphi) = N_0 e^{\frac{q \varphi}{k_\text{B} T}},</math>

hvor <math>N_0</math> er den totale tettheten av tilgjengelige energitilstander, som gir den forenklede relasjonen:

: <math>D = \mu_q \frac{k_\text{B} T}{q}.</math>

=== Nernst-Einstein ligningen ===
Ved å erstatte diffusivitetene i uttrykkene for elektriske ioniske mobiliteter av [[Kation|kationene]] og [[Anion|anionene]] fra uttrykkene for ekvivalent ledningsevne til en [[elektrolytt]], blir Nernst-Einstein ligningen avledet:

: <math>\Lambda_e = \frac{z_i^2 F^2}{RT}(D_+ +  D_-).</math>