Redigerer Dirac-ligning (avsnitt)

==Fri partikkel==

Den ikke-relativistiske [[Schrödinger-ligning]]en inneholder den tidsderiverte &part;/&part;''t'' til første orden og er direkte forbundet med energien til partikkelen. Ifølge den [[spesielle relativitetsteori]] er tiden bare én av fire retninger i [[tidrom]]met som kan transformeres over i hverandre. En relativistisk invariant [[bølgeligning]] må være uavhengig av slike transformasjoner. Dirac ville derfor komme frem til en kvantemekanisk bølgeligning som også er lineær i de romlige deriverte &part;/&part;''x'', &part;/&part;''y''  og &part;/&part;''z''. På samme måte som for Schrödinger-ligningen, betyr det at den må inneholde [[Schrödinger-ligning#Bølgefunksjoner og operatorer|impulsoperatoren]] <math> \hat\mathbf{p} = -i\hbar\boldsymbol{\nabla} </math> til første orden der ''ħ&thinsp;'' er den reduserte [[Plancks konstant|Planck-konstanten]]. Denne argumentasjonen førte Dirac til ligningen

: <math> i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = \left(\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat\mathbf{p}c + \beta mc^2\right)\! \psi </math>

der ''c'' er [[lyshastighet]]en og <math> \boldsymbol{\alpha} = (\alpha_x,\alpha_y,\alpha_z) </math> samt <math> \beta \,</math> er fire 4&times;4 [[Matrise#Konjungert transponering|hermitiske matriser]]. De må oppfylle kravene

: <math>\begin{align} \alpha_i\alpha_j + \alpha_j\alpha_i &= 2\delta_{ij} \\ \alpha_i\beta + \beta\alpha_i &= 0 \end{align} </math>

der <math> \delta_{ij} </math> er [[Kronecker-delta]] med verdiene 1 eller 0 avhengig av om indeksene er like eller forskjellige. I tillegg må <math> \beta^2 =1 </math> som også er verdien av kvadratene til de tre <math> \alpha </math>-matrisene. Bølgefunksjonen <math> \psi = \psi(\mathbf{x}, t)</math> er her en 4-komponent [[Matrise#Dimensjon|kolonnevektor]] da disse matrisene alle har dimensjon 4&times;4. Den kalles vanligvis for en «Dirac-spinor».<ref name = Dirac>P.A.M. Dirac, [https://web.archive.org/web/20150102071809/http://www.math.ucsd.edu/~nwallach/Dirac1928.pdf ''The Quantum Theory of the Electron''], Proc. Roy. Soc. '''A117''' (778), 610-624 (1928).</ref>

===Utledning===

Formen til Dirac-ligningen er bestemt av at den skal bekskrive en relativistisk partikkel. Har den en masse ''m'', må dens energi ''E&thinsp;'' og impuls '''p''' være forbundet med hverandre ved relasjonen

: <math> E^2 =  \mathbf{p}^2c^2 + m^2c^4 </math>

Den ønskede bølgeligningen tilsvarer nå å kunne uttrykke denne energien på den lineære formen

: <math> E = \boldsymbol{\alpha}\cdot\mathbf{p}c + \beta mc^2 </math>

hvor <math> \boldsymbol{\alpha} = (\alpha_x,\alpha_y,\alpha_z) </math> og <math> \beta \,</math> i utgangspunktet er ukjente størrelser. De kan ikke være reelle eller komplekse tall, men muligens [[matrise]]r. For eksempel har [[Pauli-matrise]]ne <math> \boldsymbol{\sigma} = (\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z) </math> 
egenskapen at

: <math> (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p})^2 = p^2 </math>

Ved å ta kvadratroten av denne sammenhengen, har man dermed at <math> \boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p} = p </math>. Da en partikkel med masse ''m'' = 0 har energi ''E = pc'', kan dette benyttes til å gi en relativistisk bølgeligning som er lineær både i &part;/&part;''t&thinsp;'' og '''&nabla;'''. Det er [[Weyl-ligning]]en for et masseløst [[fermion]] med spinn-1/2.<ref name = PS> M.E. Peskin and D.V. Schroeder, ''An Introduction to Quantum Field Theory'', Addison-Wesley, Reading Massachusetts (1995). ISBN 0-201-50397-2.</ref>

For en massiv partikkel finner man på tilsvarende vis ved å betrakte <math> \boldsymbol{\alpha} </math> og <math> \beta \,</math> som ikke-kommuterende matriser, at

: <math>\begin{align} E^2 &= (\alpha_ip_i c +  \beta mc^2)(\alpha_jp_j c +  \beta mc^2)\\  &= \alpha_i\alpha_j  p_i p_jc^2 +  (\alpha_i\beta + \beta \alpha_i) p_imc^3 + \beta^2m^2c^4 \end{align} </math>

når man gjør bruk av [[Einsteins summekonvensjon]] og summerer over par med like indekser. Ved å benytte at <math> \alpha_i\alpha_j  p_i p_j = \alpha_j\alpha_i  p_i p_j </math> da ''p<sub>i</sub>'' og  ''p<sub>j</sub>''  kommuterer med hverandre, gir dette betingelsene de fire Dirac-matrisene må oppfylle. De skrives vanligvis på formen

: <math> \boldsymbol{\alpha} = \begin{pmatrix} 0 & \boldsymbol{\sigma}  \\ \boldsymbol{\sigma}  & 0 \end{pmatrix}, \quad \beta=\begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix} </math>

hvor ''I&thinsp;'' i ''&beta;''-matrisen står for en 2&times;2 [[Matrise#Matrisetyper|enhetsmatrise]]. Slike enhetsmatriser blir vanligvis ganske enkelt skrevet som 1 så lenge det ikke kan oppstå misforståelser.<ref name = BD>J.D. Bjorken and S.D. Drell, ''Relativistic Quantum Mechanics'', McGraw-Hill Book Company, New York (1964).</ref>

===Spinn-1/2===

Dirac-ligningen kan skrives på samme form som den tidsavhengige [[Schrödinger-ligning]]en

: <math> i\hbar{\partial\psi\over\partial t} = \hat{H} \psi </math>

hvor nå 

: <math> \hat{H} = \boldsymbol{\alpha}\cdot\hat\mathbf{p}c + \beta mc^2 </math> 

er [[Hamilton-operator]]en for den relativistiske partikkelen. Posisjonen er gitt ved en vektoroperator <math> \hat\mathbf{x} </math> med komponenter som har en fundamental kommutator med komponentene til den konjugerte impulsoperatoren <math> \hat\mathbf{p}. </math> Den har den [[Kvantemekanikk#Tre dimensjoner|kanoniske formen]]

: <math> [\hat{x}_i ,\hat{p}_j] = i\hbar\,\delta_{ij} </math>

Da Hamilton-operatoren er uavhengig av posisjonen '''x''', er derfor impulsen til partikkelen konstant. Derimot sier  [[Matrisemekanikk#Kvantedynamikk|Heisenbergs bevegelsesligning]] at

: <math> i\hbar {d\over dt} \hat{x}_k = [\hat{x}_k ,\hat{H}] </math>

ikke er null slik at partikkelens posisjon forandrer seg med tiden. Uavhengig av dens impuls har den en bevegelse gitt ved <math> d\hat\mathbf{x}/dt = c\boldsymbol{\alpha}. </math> Dette kan bare tolkes som at en Dirac-partikkel alltid har en hastighet som i størrelse er gitt ved lyshastigheten. Fenomenet kalles for «sitterbevegelse» og har vært mye diskutert. En Klein-Gordon-partikkel har en mer normal sammenheng mellom impuls og hastighet.<ref name = Bethe> H.A. Bethe, ''Intermediate Quantum Mechanics'', W.A. Benjamin, New York (1964).</ref>

En fri Dirac-partikkel har heller ikke en konstant [[dreieimpuls]] <math>\mathbf{L} = \mathbf{x}\times \mathbf{p}.</math> Skriver man dens komponenter ved hjelp av [[Levi-Civita-symbol]]et som <math> L_k = \varepsilon_{kij} x_i p_j, </math> følger det på samme vis fra

: <math>  i\hbar {d\over dt} \hat{L}_k =  [\hat{L}_k ,\hat{H}] = i\hbar\, \varepsilon_{kij} \alpha_i \hat{p}_j c </math>
 
som mer kompakt betyr at <math> d\hat\mathbf{L}/dt = \boldsymbol{\alpha}\times\hat\mathbf{p}c. </math> Formen på dette resultatet tilsier å innføre de utvidete Pauli-matrisene

: <math> \boldsymbol{\Sigma} = \begin{pmatrix}  \boldsymbol{\sigma}  & 0 \\  0 & \boldsymbol{\sigma}  \end{pmatrix} </math>

som har dimensjon 4&times;4. I dette [[Kvantemekanikk#Tidsutvikling og Heisenberg-bilde|Heisenberg-bildet]] vil de variere ifølge 

: <math>\begin{align}  i\hbar {d\over dt} \Sigma_k &=  [\Sigma_k ,\hat{H}] =  [\Sigma_k ,\alpha_i \hat{p}_i c ] \\ &=  [\Sigma_k ,\alpha_i] \,\hat{p}_i c  = 2i\varepsilon_{kij} \alpha_j \hat{p}_i c \end{align}</math>

når man benytter [[Pauli-matrise#Algebraiske egenskaper|kommutatoren]] <math> \left[\sigma_k,\sigma_i\right] = 2i\varepsilon_{kij} \sigma_j  </math> mellom de vanlige Pauli-matrisene. Det betyr at den tidsderiverte av operatoren  <math> \hat{L}_k + (\hbar/2) \Sigma_k </math> er null. Derfor er den totale dreieimpulsen

: <math> \hat\mathbf{J} = \hat\mathbf{L} + {\hbar\over 2}\boldsymbol{\Sigma} </math>

bevart for en fri Dirac-partikkel. Av denne grunn har den  [[spinn]] ''s'' = 1/2 hvor den indre dreieimpulsen (''ħ''/2)'''&Sigma;''' har samme årsak som partikkelens  sitterbevegelse.<ref name = BD/>