Redigerer Delingsforhold (avsnitt)

==Affin geometri==

Et punkt ''T'' på linjen mellom ''A'' og ''B'' kan i [[affin geometri]] angis som {{nowrap|''T'' {{=}} (1- ''t'')''A'' + ''tB''&thinsp;}} hvor ''t'' er en parameter som også kalles en ''barysentrisk koordinat''. For ''t'' = 0&thinsp; er ''T = A'', mens ''t'' = 1&thinsp; gir ''T = B''. Midtpunktet mellom ''A'' og ''B'' tilsvarer ''t'' = 1/2. Dette kan også skrives som  {{nowrap|''T'' {{=}} ''A'' + '''v'''''t''}} hvor [[Vektor (matematikk)|vektoren]] '''v''' = ''B - A&thinsp;'' forbinder punktene ''A'' og ''B''.

[[Fil:Teilverhaeltnis-vektoren.png|250px|thumb|Posisjonsvektorer ved indre deling av linjestykket ''AB'' i punktet ''T''.]]
Velger man et punkt ''O'' som [[origo]] i dette [[affint rom|affine rommet]], kan man da angi punktet ''T'' ved posisjonsvektoren  {{nowrap|'''r'''<sub>''T''</sub> {{=}} ''T - O&thinsp;''}}  og tilsvarende for punktet ''A''. Da har man tilsvarende at

: <math> \mathbf{r}_T = \mathbf{r}_A + \mathbf{v}t. </math>

Man kan nå identifisere linjestykket ''AT&thinsp;'' med vektoren {{nowrap|'''r'''<sub>''T''</sub> - '''r'''<sub>''A''</sub> {{=}} '''v'''''t''&thinsp;}} og tilsvarende ''TB'' med {{nowrap|(1 - ''t'')'''v'''}}. På den måten vil linjestykket {{nowrap|''AB {{=}} AT + TB&thinsp;''}} tilsvare vektoren '''v'''. Dermed har man for delingsforholdet

: <math> \lambda = {t\over 1 - t} </math>

hvor ikke lengden til vektorene inngår.<ref name = STL>A. Søgaard og R. Tambs Lyche, ''Matematikk for den høgre skolen'' II, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).</ref>

Hvis linjestykket ''AB&thinsp;'' er en indre del av et større linjestykke ''PQ&thinsp;'', vil man på tilsvarende måte kunne skrive {{nowrap|''T'' {{=}} (1- ''t'')''P''+ ''tQ''&thinsp;}}. Punktet ''A'' er da angitt ved parameterverdien ''t = a&thinsp;'', mens punktet ''B&thinsp;'' har ''t = b''. Da blir på samme måte

: <math> \lambda = {t -a\over b - t} </math>

Det viser at delingsforholdet er negativt når '' t < a&thinsp;'' som tilsvarer at ''T&thinsp;'' ligger utenfor punktet ''A''. Det samme skjer når ''t > b&thinsp;'' som betyr at delingspunktet ligger utenfor punktet ''B''. Mer nøyaktig, så er da ''&lambda;'' < - 1, mens i det første tilfellet ligger delingsforholdet i intervallet {{nowrap|- 1 < &lambda; < 0}}. Når punktet ''T&thinsp;'' nærmer seg ''B'', går delingsforholdet mot &plusmn;&infin;, avhengig av fra hvilken side tilnærmelsen skjer.<ref name = Fenn>R. Fenn, ''Geometry'', Springer Undergraduate Mathematics Series, London (2003). ISBN 1-85233-058-9.</ref>