Redigerer Bølgefunksjon (avsnitt)

==Bakgrunn==

Begrepet «bølgefunksjon» har sin bakgrunn i  [[Louis de Broglie|de Broglies]] forslag i 1924 å beskrive partikler som [[bølge]]r. For en partikkel med  [[Bevegelsesmengde|impuls]] ''p&thinsp;'' er da [[bølgelengde]]n ''&lambda;'' = ''h''/''p&thinsp;'' der ''h&thinsp;'' er [[Plancks konstant]]. Vel ett år senere fant [[Erwin Schrödinger|Schrödinger]] [[Schrödinger-ligning|bølgeligningen]] for de tilsvarende [[materiebølge]]ne. At partikler hadde slike bølgeegenskaper,  ble også eksperimentelt verifisert ved [[spredning ]]av partikler mot krystaller.<ref name = Pais> A. Pais, ''Inward Bound'', Oxford University Press, England (1986). ISBN 0-19-851971-0.</ref> 

Hvis bølgefunksjonen for elektronet i [[hydrogenatom]]et betegnes ved &Psi;, mente Schrödinger opprinnelig at kvadratet |&Psi;&thinsp;|<sup>2</sup> av [[Komplekst tall#Absoluttverdi|absoluttverdien]] skulle være proporsjonalt med elektronets ladningstetthet i atomet. Men da [[Max Born]] ett år senere betraktet spredning av elektroner i den samme teorien, konkluderte han med at dette kvadratet i stedet angir sannsynligheten for å finne partikkelen på et bestemt sted. Grunnen var at ved en slik prosess hvor elektronet kan komme ut i mange forskjellige retninger, vil ikke dets ladning «smøres ut» over et stort område. Derimot vil det alltid ble registrert som en intakt partikkel.<ref name = Born>M. Born, ''Atomic Physics'', Blackie & Son Limited, Glasgow (1962).</ref>

===Sannsynlighetstetthet===
For én partikkel som beveger seg i tre dimensjoner med koordinater '''x''' = (''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,''x''<sub>3</sub>) er bølgefunksjonen en kompleks funksjon <math> \psi = \psi(\mathbf{x},t) </math> som generelt også varierer med tiden ''t''. Sannsynligheten for å observere partikkelen i et liten volumelement ''d''<sup>&thinsp;3</sup>''x&thinsp;'' ved tiden ''t&thinsp;'' er definert som 

: <math> dP = \Psi^*\Psi\, d^3x </math>

Av denne grunn er det naturlig å omtale produktet |&Psi;&thinsp;|<sup>2</sup>  som en «sannsynlighetstetthet». Da partikkelen befinner seg et eller annet sted, må derfor bølgefunksjonen oppfylle kravet

: <math> \int\!d^3x\, \Psi^*\Psi = 1 </math>

Integralet går her over hele rommet og inkluderer også områder av dette hvor partikkelen klassisk ikke kan befinne seg. Dette kravet kalles oftest for  et «normeringsintegral».<ref name= Griffiths>D.J. Griffiths, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education International, Essex (2005). ISBN  1-292-02408-9.</ref>

Hvis partikkelen befinner seg i en tilstand med en viss energi ''E'', er den i en [[egenvektor|egentilstand]] av [[Hamilton-operator]]en. Ifølge den tidsavhengige [[Schrödinger-ligning]]en vil den da variere med tiden som

: <math> \Psi(\mathbf{x},t) =  \psi(\mathbf{x})e^{-iEt/\hbar} </math>

der ''ħ&thinsp;'' er den reduserte [[Plancks konstant|Planck-konstanten]]. Sannsynlighetstettheten vil i dette tilfellet bare variere med posisjonen til partikkelen. Men når partikkelen er i en [[Schrödinger-ligning#Superposisjon|superposisjon]] av flere slike egenfunksjoner med forskjellige energier, vil sannsynlighetstettheten forandre seg med tiden.

===Eksempel===

Schrödinger-ligningen for en partikkel som befinner seg i en uendelig dyp, éndimensjonal potensialbrønn kan løses [[Schrödinger-ligning#Partikkel i kassepotensial|eksakt]]. Hvis denne har en utstrekning ''a'', kan da partikkelen befinne seg mellom ''x'' = 0 og ''x'' = ''a'' når man velger origo passende. Utenfor begge disse posisjonene er bølgefunksjonen lik med null. Tilstanden med lavest energi {{nowrap|''E''<sub>1</sub> {{=}} ''ħ''<sup>2</sup>''&pi;''<sup>2</sup>/2''ma''<sup>2</sup>}} der ''m&thinsp;'' er partikkelens masse, har bølgefunksjonen

: <math> \psi_1(x) = \sqrt{2\over a} \sin{\pi x\over a} </math>

i området 0 < ''x'' < ''a''. Tilstander med høyere energier har bølgefunksjoner av samme form, men hvor argumentet i sinus-funksjonen blir erstattet med  ''n&pi;x''/''a&thinsp;'' hvor ''n'' = 2, 3, 4  og så videre.<ref name = Griffiths/>

Erstattes det uendelig dype brønnen med potensialet for en éndimensjonal, [[Kvantisert harmonisk oscillator#Bølgefunksjoner|harmonisk oscillator]] med frekvens ''&omega;'', er laveste energi {{nowrap|''E''<sub>0</sub> {{=}} (1/2)''ħ&omega;''}} og tilsvarende bølgefunksjon

: <math> \psi_0(x) = \left({m\omega\over\pi\hbar}\right)^{1/4} e^{-m\omega x^2/2\hbar} </math>

Den gjelder for alle posisjoner ''x'', men avtar raskt fra sentrum ''x'' = 0 til potensialet. Sannsynligheten for å finne partikkelen i det klassisk forbudte området hvor den potensielle energien er større en partikkelens totalenergi, er ikke lenger null. Dette er eksempel på kvantemekanisk [[Kvantetunnelering|tunnelering]].

Det er ikke enkelt å se noe som minner om vanlige [[bølge]]r i disse løsningene. Derimot for en fri partikkel som beveger seg med en gitt impuls '''p''' i et veldig stort, tredimensjonalt rom, er den fulle bølgefunksjonen

: <math> \Psi(\mathbf{x},t) = \sqrt{1\over V}\,e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - Et)/\hbar} </math>

der ''V&thinsp;'' er volumet den befinner seg i. Dette er virkelig en kompleks, [[Bølge#Plane bølger|plan bølge]] med bølgevektor '''k''' = '''p'''/''ħ'' og [[vinkelfrekvens]] ''&omega;'' = ''E''/''ħ''. Men for flere partikler minner de kvantemekaniske bølgefunksjonene enda mindre om klassiske bølger.<ref name = Born/>